2023年中考数学压轴题突破——二次函数与不等式的综合运用

2023年中考数学压轴题突破——二次函数与不等式的综合运用 一、综合题 1．某商场经营某种品牌的计算器，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是600个，而销售单价每上涨1元，就会少售出10个. （1）不妨设该种品牌计算器的销售单价为x元（x＞30），请你分别用x的代数式来表示销售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x（x＞30） 销售量y（个） 　 　 销售计算器获得利润w（元） 　 　 （2）在第（1）问的条件下，若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于35元，且商场要完成不少于500个的销售任务，求：商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少？ 2．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过（1，0），（0，3）两点． （1）求b，c的值； （2）写出当y＞0时，x的取值范围． 3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题. x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 ﹣1 ﹣1 3 … （1）如表是y与x的几组对应值，则a＝　 　，k＝　 　； （2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分点并绘制了部分图象，请把该函数的图象补充完整，并写出该函数的一条性质： ▲ ； （3）如图，在平面直角坐标系中作出了函数y＝﹣x＋2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集（结果保留1位小数，误差不超0.2） 4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1. （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该图象的顶点坐标； （3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围. 5．请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式：. 解：设，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和，画出的大致图象： 由图像可知：当时，函数图象在x轴下方，此时即.所以一元二次不等式的解集为. 通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　 　和　 　（只填序号） ①分类讨论思想，②转化思想，③数形结合思想 （2）用类似方法解的解集为　 　. 6．为了巩固脱贫攻坚成效，助推乡村振兴，最近市委市政府又出台了系列“惠农”政策，农民收入大幅增加，万秀村某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本为5元/克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克，设当天销售单价统一为 元/千克（ ，且 是0.5的整数倍），在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5千克，当天的销售利润为 元. （1）求 与 之间的函数关系式，不要求写出自变量 的取值范围； （2）若物价部门核定该产品的利润率不得超过80%，该产品的售价定为多少元时，才能使当天获得最大利润？最大利润是多少？ （3）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围. 7．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C. （1）求线段BC的长； （2）当0≤y≤3时，请直接写出x的范围； （3）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP，当∠BCP＝90o时，求点P的坐标. 8．若二次函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2． （1）求证：抛物线与x轴有交点． （2）经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点． （3）若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内，请比较y1，y的大小． 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于(p,0)，(q,0)，则该抛物线的解析式可以表示为： y=a(x-p)(x-q)， =ax2-a(p+q)x+apq. （1）若a=1，抛物线与x轴交于(1,0)，(5,0)，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若a=-1，如图（1），A(-1,0)，B(3,0)，点M(m,0)在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D.当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值； （3）已知抛物线C3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)，线段EF的端点E(0,3)，F(4,3).若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围.