2023年中考数学压轴题突破——二次函数的最值

2023年中考数学压轴题突破——二次函数的最值 一、综合题 1．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个． （1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式； （2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？ 2．已知二次函数 的图象经过 两点. （1）求b的值. （2）当 时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是　 　. （3）设 是该函数的图象与x轴的一个公共点，当 时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围. 3．已知抛物线y＝x2﹣2ax+m． （1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值； （2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由； （3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围． 4．如图，在边长为6的等边 中，D是 边上一点， ，E是 边上一动点， 交 边于F. （1）找出图中一对相似三角形，并说明理由； （2）在点E从B点运动到C点的过程中： ①求 长的最小值； ②线段 的中点所经过的路径长为 ；线段 的中点到 的最大距离为 . 5．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A、B分别为直线y＝- x+6与x轴、y轴的交点.动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的交点分别为C、D，连接CD、QC. （1）求当t为何值时，点Q与点D重合？ （2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值； （3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围. 6．如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于点 、 （点 在右侧），与 轴交于点 ，点 的横坐标恰好为 .动点 、 同时从原点 出发，沿射线 分别以每秒 和 个单位长度运动，经过 秒后，以 为对角线作矩形 ，且矩形四边与坐标轴平行. （1）求 的值及 秒时点 的坐标； （2）当矩形 与抛物线有公共点时，求时间 的取值范围； （3）在位于 轴上方的抛物线图象上任取一点 ，作关于原点 的对称点为 ，当点 恰在抛物线上时，求 长度的最小值，并求此时点 的坐标. 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm.设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）. （1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？ （2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？ 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）. （1）求这条抛物线所对应的函数的表达式； （2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标； （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标. 9．在平面直角坐标系中，将二次函数y=a (a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1，经过点A的一次函数 ( )的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； 10．某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一个月进馆200人次，此后进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过400人次，若进馆人次的月平均增长率不变，到第几个月时，进馆人数将超过学校图书馆的