一道双曲线离心率问题的5种解法 教学反思

一道双曲线离心率问题的5种解法 一、问题与解析 问题：双曲线，过虚轴端点且平行轴的直线交于点两点，为双曲线的一个焦点，且有，求该双曲线的离心率. 分析：1.解决本题的落脚点是“”，对于解决线线垂直问题，高中阶段我们用的较多的策略有：（1）两直线垂直且斜率存在，则两直线斜率之积等于-1；（2）考虑三边边长，利用勾股定理构造直角三角形；（3）转化为向量问题，则有两垂直直线对应向量的数量积为零；（4）利用直角三角形的几何性质等.2.方法是数形结合.3.双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点，本题未明确给出哪个端点哪个焦点，看似让人无从下手，实则增加了问题灵活性，我们只需根据双曲线的对称性任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题. 解法一：利用“两直线垂直且斜率存在，则两直线斜率之积等于-1”这一结论解题 根据题意可得出如下示意图： 由已知有两点的纵坐标都为b，将b代入双曲线方程得，所以 .设F(c，0)为双曲线右焦点，则 ∵ ∴整理得① 又双曲线中② 由①②消c有，∴离心率 解法二：构成直角三角形，利用勾股定理解题 根据解法一分析可得.设F(c，0)为双曲线右焦点，则 ； ∵ ∴由勾股定理有,即 整理得③ 又双曲线中④ 由③④消c有，∴离心率 解法三：转化为向量求解 根据解法一的分析可得 ∵ ∴ ∴整理得⑤ 又双曲线中⑥ 由⑤⑥消c有，∴离心率 解法四：转化为直角三角形性质求解 由解法二分析可知，如图二设虚轴端点为连接,则 后面过程与前三种解法相同. 解法五：转化为双曲线定义求解 如图二设虚轴端点为连接,则 2、 思考与反思 1.解析几何问题，应遵循“几何”为先的思维顺序，在教学中我们应引导学生养成先画图的习惯，通过所画的图形成直观感知，化繁为简，化难为易. 2.高中数学在复习阶段需要大量的练习题作为载体，但现实上并不是题目做的越多越好，而在于做题的效果，在于教师对一个题目的高度认知，和深刻理解.教师在试题讲评前做好充分的备课的同时也应该给学生一定的时间和空间去感受思考和探究.教师在讲评过程中要抓住题目的本质内容，进行有效的发散式讲解.如前提到的发散思维就其侧重点而言,可分为题型发散、解法发散等，前文题目一题多解属于解法发散，教师在教学过程中也可以对本题稍加变式让其变成题型发散问题，让学生真正理解知识点的本质，拓宽学生看待题目的视野，增强他们的思维能力.举例如下： (1).双曲线，过虚轴端点且平行轴的直线交于点两点，为双曲线的一个焦点，且有，求该双曲线的离心率. (2).双曲线，分别为双曲线的两焦点，过且平行轴的直线交于点两点，且有，求该双曲线的离心率. (3).双曲线，过虚轴端点且平行轴的直线交于点两点，为双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为，求证：. (4).已知双曲线的离心率为，平行轴的直线交于点两点，为双曲线的一个焦点且有，求证：直线过双曲线的虚轴端点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $