专题检测(八) 概率与统计的综合（Word练习）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(八)　概率与统计的综合 1．(2022·江苏常州模拟)某型号机床的使用年数x和维护费y有下表所示的统计资料： x/年 2 3 4 5 6 y/万元 2.0 3.5 6.0 6.5 7.0 在线性回归方程＝＋x中，＝，＝－，其中，为样本平均值． (1)求x，y的线性回归方程； (2)某厂该型号的一台机床已经使用了8年，现决定当维护费达到15万元时，更换机床，请估计到第11年结束，是否需要更换机床？ 解：(1)＝＝4， ＝＝5.0， iyi＝2×2＋3×3.5＋4×6＋5×6.5＋6×7＝113， ＝4＋9＋16＋25＋36＝90， ∴＝＝＝1.3， ∴＝5－1.3×4＝－0.2，∴＝1.3x－0.2. (2)当x＝11时，y＝1.3×11－0.2＝14.1<15. 故不需要更换机床． 2．(2022·湖北荆州中学模拟)某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关数据如表所示： ivi i i 30.5 15 15 46.5 (1)从①y＝bx＋a；②y＝m·xk(m>0, k>0)；③y＝cx2＋dx＋e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由； (2)根据(1)中选择的回归类型，求出y与x的线性回归方程； (3)预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元) 参考数据：≈3.678 8，3.678 83≈49.787. 参考公式：线性回归方程＝u＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解：(1)由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x呈正相关，增长速度越来越缓慢， 所以选择回归类型y＝m·xk(m＞0，k＞0)更好． (2)对y＝m·xk两边取对数， 得ln y＝k ln x＋ln m，因为v＝ln y，u＝ln x， 即v＝ku＋ln m， 由表中数据得， ＝＝＝， ∴ln m＝－＝1.5－×1.5＝1.∴m＝e， ∴年广告费用x和年利润额y的线性回归方程为y＝ex. (3)由(2)知y＝ex，令y＝ex>10得x＞， 解得x>3.678 8， ∴x＞3.678 83≈49.787，∴x≈49.8(十万元)＝498万元． ∴下一年应至少投入498万元广告费用． 3．(2022·山东师范大学附中模拟)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下： 满意 程度 25岁以下 26岁至50岁 50岁以上 男 女 男 女 男 女 满意 20 21 35 16 25 6 一般 20 20 25 19 12 16 不满意 15 9 10 15 8 8 (1)若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率； (2)记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26至50岁5G手机男用户满意程度的平均分； (3)若从样本中26至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率． 解：(1)由统计表知，超过50岁的5G手机用户有25＋6＋12＋16＋8＋8＝75(人)， 则从样本中任取1人，年龄不超过50岁的概率P＝＝， (2)由题意，样本中26至50岁5G手机男用户满意程度的平均分为＝. (3)由题意，用分层随机抽样的方法抽取的5人中男用户有2人，分别记为a，b；女用户有3人，分别记为1，2，3， 从这5人中不放回地依次随机挑选2人，样本空间Ω＝{(a, b), (a, 1), (a, 2), (a，3), (b, a), (b，1), (b，2), (b，3), (1, a), (1, b), (1, 2), (1, 3), (2, a), (2, b), (2, 1), (2, 3)，(3，a)，(3, b), (3, 1), (3, 2)}， n(Ω)＝20， 设事件A＝“第2次才挑选到了女用户”，则A＝{(a, 1), (a, 2), (a，3)，(b，1), (b，2), (b，3)}，n(A)＝6， 所以第2次才挑选到了女用户的概率P(A)＝＝＝. 4．(2022·福建福州模拟)为让人民享受到更优质的教育服务，我国逐年加大对教育的投入，下图是我