专题检测(四) 三角恒等变换与解三角形（Word练习）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(四)　三角恒等变换与解三角形 题组一　 三角恒等变换问题 1.(2022·山东潍坊期末)如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，点P是角α终边上的一点，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：由题意可得P(－1，2)，x＝－1，y＝2， r＝|OP|＝，故cos α＝＝＝－， 则cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 2．(2022·山东枣庄模拟)已知sin(－α)＝，则cos (2α－)＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：cos (2α－)＝cos (－π＋2α－) ＝－cos (2α－) ＝－cos (－2α)＝－ ＝－(1－2×)＝－. 3．(2022·江苏扬州期末)已知sin(α＋)＋sin (α－)＝1，则cos 2α＝(　　) A．－ B． C． D． B　解析：由题意可知， sin α＋cos α＋(sin α－cos α)＝1， 即2sin α＝1，解得sin α＝， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝. 4．已知sin(θ－)＝，则sin (2θ＋)＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：设α＝θ－，则θ＝α＋，sin α＝， 从而sin (2θ＋)＝sin [2(α＋)＋] ＝sin (2α＋)＝cos 2α＝1－2sin2α＝. 5．已知实数x，y满足x2＋3y2＝3，则x＋y的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 C　解析：由题设知＋y2＝1， 令cosθ＝x，sin θ＝y且θ为任意角， ∴x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，即x＋y的最大值为2. 6.(2022·江苏高三专题练习)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 2α的值为(　　) A． B． C． D． D　解析：设三角形较短的直角边为x， 则较长的直角边为x＋1， 所以x2＋(x＋1)2＝25， 解得x＝3或x＝－4 (舍去). 所以tan α＝，tan 2α＝＝. 7．(多选)(2022·山东烟台二中模拟)下列式子等于cos(x－)的是(　　) A．cos (x－) B．sin (x－) C． D．2cos2(－)－1 CD　解析：cos(x－)＝cos (x＋－π) ＝－cos (x＋)≠cos (x－)， 故A不正确； sin (x－)＝sin (x－－) ＝－cos (x－)≠cos (x－)， 故B不正确； ＝cos x＋sin x＝cos (x－)，故C正确； 2cos2(－)－1＝cos(－x)＝cos (x－)，故D正确． 8．(多选)(2022·江苏镇江期末)已知函数f(x)＝2(cos x＋sin x)cos x－1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)≥f() B． f(＋x)＝f(－x) C．f(＋x)＋f(－x)＝0 D．f(1)>f(2) ABD　解析：依题意， f(x)＝2cos2x－1＋2sinx cos x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 对于A，f()＝sin (2×＋) ＝sin ＝－， 而f(x)min＝－，即∀x∈R，f(x)≥f()，A正确； 对于B，f(＋x)＝sin (＋2x)＝cos 2x， f(－x)＝sin (－2x)＝cos 2x， 即f(＋x)＝f(－x)，B正确； 对于C，取x＝， f(＋x)＋f(－x)＝f()＋f(0)＝2≠0，C不正确； 对于D，因为＜2＋＜π，＜4＋＜2π， 则f(1)>0>f(2)，D正确． 9．(多选)(2022·河北保定模拟)若tan α－＝tan 6α＋tan αtan 6α，则α的值可能为(　　) A．－ B． C． D． ABD　解析：由tan α－＝tan 6α＋tan αtan 6α， 可知tan α－＝(1＋tan α)tan 6α， 当1＋tan α＝0，即tan α＝－时， 即α＝－＋kπ(k∈Z)时，tan α－＝－， tan 6α＋tan αtan 6α＝0， 显然tan α－＝tan 6α＋tan αtan 6α不成立， 故1＋tan α≠0； 所以＝tan 6α， 则tan (α－)＝tan 6α， 所以6α＝α－＋kπ(k∈Z)， 即α＝－＋(k∈Z)， 当k＝0时，α＝