专题检测(十一) 立体几何（Word练习）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(十一)　立体几何 1．(2022·山东济宁一模)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝2AB＝2AA1＝2，A1B∩AB1＝M，A1B⊥B1C． (1)求证：AB⊥AC； (2)若点N在线段A1C上，满足MN∥平面ABC，求直线B1N与平面A1BC所成角的正弦值． (1)证明：∵ABC­A1B1C1为直三棱柱， ∴AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC， 又AA1＝AB，所以四边形AA1B1B为正方形， ∴A1B⊥AB1，又A1B⊥B1C，AB1∩B1C＝B1， ∴A1B⊥平面AB1C， 又AC⊂平面AB1C，∴A1B⊥AC， 又AC⊥AA1，A1B∩AA1＝A1， ∴AC⊥平面AA1B1B， 又AB⊂平面AA1B1B，∴AB⊥AC． (2)解：连接A1C，MN，B1N. ∵MN∥平面ABC，MN⊂平面A1BC， 平面A1BC∩平面ABC＝BC，∴MN∥BC． 又M为A1B的中点，∴N为A1C的中点． 如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A1(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B1(1, 0, 1)，N(0，1，). ∴B1N＝(－1, 1，－)， 设平面A1BC的法向量为n＝(x, y, z)， 又A1B＝(1, 0，－1)，A1C＝(0, 2，－1)， 由得不妨取z＝2，则x＝2，y＝1， 所以平面AB1C的一个法向量为n＝(2, 1, 2), 设直线B1N与平面A1BC所成角为θ， ∴直线B1N与平面A1BC所成角θ的正弦值为 sin θ＝|cos 〈B1N，n〉|＝＝＝. 2．(2022·湖北十堰模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F. (1)证明：PB⊥平面EFD； (2)若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度． (1)证明：∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形， ∴PD⊥BC，CD⊥BC， 又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC， ∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE. 又∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC， ∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB． 又EF⊥PB，EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD． (2)解：如图，由题意知DA，DC，DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz. 设AD＝t，则D(0，0，0)，B(t，a，0)， C(0，a，0)，P(0，0，a)，E(0，，)， ∴＝(0，0，a)，＝(t，a，0)， 由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，且＝(0，，). 设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)， 由得即 取y＝1，得n＝(－，1，0)， ∴cos ＝＝＝，解得t＝a，即AD＝A． 3．(2022·山东菏泽模拟)如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝2，PA＝PC＝，O为AC的中点，M为△PBC内部或边界上的动点，且OM∥平面PAB． (1)证明：PB⊥AC； (2)设直线PM与平面ABC所成角为θ，求sin θ的最小值． (1)证明：在三棱锥P­ABC中，连接OB，OP， 因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，PA＝PC，O为AC中点， 所以OP⊥AC，OB⊥AC． 又OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面POB，所以AC⊥平面POB． 因为PB⊂平面POB，所以PB⊥AC． (2)解：由(1)知OP⊥AC， 平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC， OP⊂平面PAC，所以OP⊥平面ABC． 又OB⊥OC，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1, 0)，P(0，0，2)， 设M(x, y, z)，则＝(x, y, z)，＝(x, y, z－2)， ＝(0，－1，－2)，＝(1, 0，－2)，＝(0, 1，－2)， 设平面PAB的法向量为n1＝(x1, y1, z1)， 则即 令z1＝1，则x1＝2，y1＝－2，所以n1＝(2，－2, 1)为平面PAB的一个法向量， 设平面PBC的法向量为n2＝(x2, y2, z2)， 则即 令z2＝1，则x2＝2，y2＝2，所以n2＝(2，2, 1)为平面PBC的一个法向量， 因为OM∥平面PAB，PM⊂平面PBC， 所以 即即 所以M(x，，1－2x). 又所以0≤x≤. 所以＝(x，，－1－2x)， 又OP⊥平面ABC， 所以n3＝(0,