专题检测(十) 空间几何体与空间位置关系（Word练习）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(十)　空间几何体与空间位置关系 题组一　空间几何体的表面积与体积 1．(2020·天津卷)若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B．24π C．36π D．144π C　解析：由题意知球的直径 2R＝＝6， ∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π. 2．(2022·山东聊城模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥. 若一个直角圆锥的侧面积为36π，则它的体积为(　　) A．18π B．72π C．64π D．216π B　解析：设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以h＝r，l＝r.因为直角圆锥的侧面积为36π，所以πrl＝πr2＝36π，解得r＝6，所以该直角圆锥的体积为πr2h＝πr3＝π×63＝72π. 3．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是0.18 m3，那么原正方体石料的体积是(　　) A．0.196 m3 B．0.216 m3 C．0.225 m3 D．0.234 m3 B　解析：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，则每个截去的正四面体的体积为····＝，由题意可得a3－8·＝0.18⇒a3＝0.216，即原正方体石料的体积为0.216 m3. 4．(2022·山东聊城二中模拟)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4，2，2，则该等腰四面体的体积是(　　) A．4 B． C．8 D． B　解析：如图，将等腰四面体ABCD补成长方体， 设该长方体的长、宽、高分别是a，b，c， 则解得a＝2，b＝2，c＝4， 则该等腰四面体的体积为V＝2×2×4－××2×2×4×4＝. 5．(2022·湖北武汉模拟)某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为(　　) A． B． C． D． A　解析：设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为2r，小锥体的高为h，大锥体的高为2h，则大圆锥的体积即为π(2r)2·2h＝1，整理得πr2·h＝，即小圆锥的体积为，所以该圆台体积为1－＝. 6．(2022·山东烟台一模)如图，三棱锥V­ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AV＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为(　　) A．(2－)∶1 B．(2－3)∶1 C．(－1)∶3 D．(－1)∶2 C　解析：因为VA⊥底面ABC，AB, AC⊂底面ABC， 所以VA⊥AB, VA⊥AC， 又因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC， 而AB＝AC＝AV＝2， 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高， 因此该三棱锥外接球的半径 R＝×＝， 设该三棱锥的内切球的半径为r， 因为∠BAC＝90°， 所以BC＝＝＝2， 因为VA⊥AB, VA⊥AC，AB＝AC＝AV＝2， 所以VB＝VC＝＝＝2， 由三棱锥的体积公式可得， 3×××2×2·r＋××2×2×·r ＝××2×2×2⇒r＝， 所以r∶R＝∶＝(－1)∶3. 故该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为(－1)∶3. 7．(2022·湖南雅礼中学一模)如图，长方形ABCD中，AB＝，AD＝1，点E在线段AB(端点除外)上，现将△ADE沿DE折起为△A′DE.设∠ADE＝α，二面角A′­DE­C的大小为β，若α＋β＝，则四棱锥A′­BCDE体积的最大值为(　　) A． B． C． D． A　解析：设过点A与DE垂直的线段长为a， 则AE＝tan α，0＜tan α＜， DE＝，a＝sin α， 则四棱锥A′­BCDE的高 h＝a·sin β＝sin α·sin (－α)＝sin αcos α， 则V四棱锥A′­BCDE ＝××(－tan α＋)×1×sin αcos α ＝(－tan α)×sin αcos α ＝(sin αcos α－sin2α) ＝(sin2α＋cos 2α)－ ＝(sin 2α＋cos 2α)－ ＝sin (2α＋φ)－(tan φ＝)， ∴四棱锥A′­BCDE体积的最大值为－＝. 8．(多选)(2021·江苏淮安第二次适应性考试)已知三棱锥P­ABC的顶点均在半径为5的球面上，△ABC为等边三角形且外接圆半径为4，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P­ABC的体积可能为(　　) A．20 B．