第六章 计数原理【章末复习】-2022-2023学年高二数学单元复习过过过（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理 章末复习 1 1 知识框架 2 重点题型 2 重点题型 例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为 A.484 B.472 C.252 D.232 2 重点题型 (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 考点2、排列与组合的综合应用 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则. 2.明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养. 2 重点题型 例2　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 2 重点题型 解　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语. 方法一　分两类. 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法. 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法. 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语. 2 重点题型 第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选.可分两步. 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法. 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法. 2 重点题型 反思感悟　解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理. 2 重点题型 跟踪训练2　现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 2 重点题型 解　可以分三类： 2 重点题型 1.二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解. 2.二项式定理所体现的是一种数学运算素养. 2 重点题型 角度1　二项展开式的“赋值问题” 例3　(1)若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为 A.－1 B.0 C.1 D.2 2 重点题型 两式相乘，得 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1. 2 重点题型 (2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2. 解　令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25； 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65. 两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125. 2 重点题型 跟踪训练3　若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为______. 解析　令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5， 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5. 2 重点题型 角度2　二项展开式的特定项问题 (1)求展开式中的所有有理项； 2 重点题型 解得n＝1