《中学生数理化》高一数学2023年2月内文-平面向量

■张洪军 王佩其 三角形的四心是指三角形的重心、垂心、 内心和外心,它们是与三角形有关的四个特 殊点,它们与三角形的顶点或边都具有一些 特殊的性质。利用向量的相关知识解决三角 形的四心问题,这在一定程度上发挥了向量 的工具作用,很好地体现了数形结合的数学 思想。 一、向量与三角形的重心“结盟” 例1 (1)已知O,A,B,C 是平面上的 四个定点,A,B,C 三点不共线,若点P 满足 OP→=OA→+λ AB→+AC→ ,其中λ∈R,则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )。 A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 (2)已知O 为△ABC 内一点,且OA→+ OB→=CO→,若∠BAC=60°,且AB→·AC→=1, 则|AO→|的最小值为 。 解:(1)由 OP→=OA→+λ AB→+AC→ ,即 OP→ -OA→ =λ AB→+AC→ ,可 得 AP→ = λ(AB→+AC→),当λ=13时,AP →=13(AB →+ AC→),则P 为△ABC 的重心,所以点P 的轨 迹一定经过△ABC 的重心。应选A。 (2)由OA→+OB→=CO→,可得OA→+OB→+ OC→=0,所 以 O 为 △ABC 的 重 心,所 以 AO→=13(AB →+AC→)。因为AB→·AC→=1,所 以|AB→|·|AC→|·cos∠BAC=1。又 ∠BAC=60°,所以|AB→|·|AC→|=2。 因 为 |AO→ |2 = 19 AB →+AC→ 2 = 1 9 (|AB→|2+|AC→|2 +2AB→ · AC→)= 1 9 (|AB→|2+|AC→|2+2)≥ 19(2|AB →|· |AC→|+2)=23,当且仅当|AB →|=|AC→|时取 等号,此时△ABC 是正三角形,所以|AO→|2 的最小值为 2 3 。故|AO→|的最小值为 63。 基本规律:O 是△ABC 的重心⇔OA→+ OB→+OC→=0;P 是 平 面 ABC 内 任 一 点, PG→=12 PA →+PB→+PC→ ⇔G 是△ABC 的 重心。 二、向量与三角形的外心“结盟” 例2 (1)O 是△ABC 所在平面上一点, 若 OA→+OB→ ·AB→= OB→+OC→ ·BC→= OA→+OC→ · AC→ =0,则 O 是 △ABC 的( )。 A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 (2)已知O 为△ABC 所在平面内一点, 若 OA→+OB→ ·AB→= OB→+OC→ ·BC→=0, 且AB=6,AC=4,则AO→·BC→= 。 解:(1)由(OA→+OB→)·AB→=0,可得 (OA→+OB→)·(OB→-OA→)=0,即 OB→ 2 - OA→ 2 =0,所 以|OA→|=|OB→|。同 理,由 OA→+OC→ ·AC→=0,可得|OA→|=|OC→|。 故|OA→|=|OB→|=|OC→|,可知O 是△ABC 的外心。应选B。 (2)设△ABC 的边AB,AC,BC 的中点 分别为D,E,F(图略)。因为 OA→+OB→ · AB→= OB→+OC→ ·BC→=0,所 以 2OD→· AB→=2OF→·BC→=0,所以 OD⊥AB,OF⊥ BC,可知O 是△ABC 的外心,则OE⊥AC。 故AO→·BC→=AO→· AC→-AB→ =AO→·AC→ -AO→·AB→=12|AC →|2-12|AB →|2=-10。 基本规律:O 是△ABC 外心⇔|OA→|= |OB→|=|OC→ |;O 是 △ABC 外 心 ⇔ OA→+OB→ · AB→ = OB→+OC→ · BC→ = OA→+OC→ ·AC→=0。 3 知识结构与拓展 高一数学 2023年2月 三、向量与三角形的内心“结盟” 例3 已知I为△ABC 所在平面上的一 点,且 AB=c,AC=b,BC=a。若aIA→+ bIB→+cIC→=0,则I是△ABC 的( )。 A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 解:因为IB→=IA→+AB→,IC→=IA→+AC→, 所以aIA→+bIB→+cIC→=aIA→+b(IA→+AB→) +c(IA→+AC→)=(a+b+c)IA→+bAB→+ cAC→=0,所以(a+b+c)IA→=-(b·AB→+ c·AC→),所以IA→=- (b·AB→+c·AC→) a+b+c = - 1 a+b+cb ·AB→+c·AC→ =- bca+b+c· AB→ c + AC→ b =- bca+b+c AB → |AB→| + AC→ |AC→| , 所以IA→ 在角A 的平分线上,可知点I 在 ∠BAC 的 平 分 线 上。同 理 可 得,点 I 在 ∠