第1讲 余弦定理-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

教师版 最大的门窗 —————窗含西岭千秋雪,门泊东吴万里船。（《绝句》唐·杜甫） 解三角形专题 第1讲 余弦定理 思维导图-----知识梳理 余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为，∴， 即 从而,同理，根据，， 可以得到， 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一 已知两边及一角解三角形 思维导图-----知识梳理 (1)已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. (2)已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b=（ ） A． B． C．3 D．或3 【答案】D【分析】根据可得，再利用余弦定理求解即可 【详解】由题，因为，故为锐角，故，又由余弦定理可得，故，化简得，故或3故选：D 例2.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ） A．3 B． C． D．3 【答案】A【分析】由余弦定理列方程求解． 【详解】由余弦定理得，解得（负值舍去）．故选：A． 例3.在中，若，，，则边（ ） A．4 B．16 C． D．10 【答案】C【分析】由余弦定理可得答案.【详解】因为，，， 所以由余弦定理得，则边.故选：C. 例4.在中，的对边分别为，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】直接由余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理可得 所以 故选：D 例5.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】D【分析】利用余弦定理列方程求解即可.【详解】解：因为，，， 所以由余弦定理得，即，解得或故选：D 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.在中，，则（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得，故.故选：B. 2.在中，如果，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得， .所以.故选：B. 3.在中，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【详解】解：在中，，，， 设，利用余弦定理，整理得，解得或（负值舍去）． 故选：C 4.已知的内角所对的边分别为若，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】由商数关系求得角，用余弦定理求． 【详解】，所以，又是三角形内角，所以， 由余弦定理得，解得（负值舍去）．故选：B． 5.在中，，，，则（ ） A． B． C．或 D．无解 【答案】C【分析】利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得的值. 【详解】由余弦定理可得，即， ，解得或.故选：C. 6.在锐角中，，，且，则______． 【答案】5【分析】根据二倍角的余弦公式求得，结合余弦定理即可求出b. 【解析】由，得，又，所以； 由余弦定理，得，即，由，解得.故答案为：5 题型二 已知三边解三角形 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 思维导图-----知识梳理 已知三角形的三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 例1.在三角形中，，则大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用余弦定理先求解出的值，然后即可求解出的大小. 【详解】因为，所以，故选：D. 例2.已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据三边关系结合余弦定理求出，进而结合同角的平方关系即可求出结果. 【详解】因为，所以设，结合余弦定理得，因为，所以，因此， 故选：D. 例3.下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】由构成三角形三边满足的条件可判断A；由余弦定理的推理可求出最大的边所对的角即可判断选项BCD，进而可得正确选项.【详解】设三角形最大的内角为 ， 对于选项A：不满足两边之和大于第三边，不能够成三角形，故选项A不正确； 对于选项B