专题11 几何压轴中的实践与操作题型-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题11 几何压轴中的实践与操作题型 对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现. 图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型： 1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)． 2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)． 3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)． 4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)． 解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效． （2022·宁夏·中考真题）综合与实践 知识再现 如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______． 问题探究 如图，中，． （1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______． （2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：； （2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值． 问题探究：（1）；（2）；理由见解析； 实践应用：（1）见解析；（2）． 知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解； 问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解； (2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6； 实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则，，再由，可证明． (2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求． 【答案】知识再现 ； 【详解】知识再现：解：中，， ， ， ，， ， 故答案为：； 问题探究：解：中，， ， ， ， 故答案为：； 解：中，， ， 过点作交于， 在等边三角形中，，， ， ， 同理可得，， ， ； 实践应用：证明：设，，， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ， 是等边三角形，四边形是平行四边形， ，， 是直角三角形， ， ， ； 解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为， 是直角三角形， ， ， ， ，，， ， ，， ， ． 本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键． （2022·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． (1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； (2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） （1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程