上海市建平中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学试卷

上海市建平中学2021-2022学年高三上开学考 数学试卷 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.设,若的反函数的图象经过点,则 . 2.行列式中,6的代数余子式的值是 . 3.已知全集,集合,则 . 4.在的二项展开式中,系数最大的项是 . 5.已知复数满足,则 . 6.关于的方程有大于1的实数根,则实数的取值范围是 . 7.已知地球半径为6371公里,则在东经圈上分别为位于北纬与的甲、乙两地之间的球面距离为 公里(四舍五入,精确到1公里) 8.若最小值为,最大值为,则 . 9.奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为 10.从集合中任取两个数,欲使取到的一个数大于,另一个数小于(其中的概率为,则 . 11.若,函数的值域为,则的取值范围是 . 12.已知、与、是4个不同的实数,若关于的方程 的解集不是无限集,则集合中元素的个数构成的集合为 . 二、选择题(本大题共有4小题,满分20分,每题5分) 13.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.如果正数满足,那么 A.且等号成立时的取值唯一 B.且等号成立时的取值唯一 C.且等号成立时的取值不唯一 D.且等号成立时的取值不唯一 15.已知抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,点是抛物线的准线与坐标轴的交点,则的最小值是 A. B. C. D. 16.单调递增的数列中共有项,且对任意,、和中至少有一个是中的项,则的最大值为 A.9 B.8 C.7 D.6 三、解答题(本大题共5题,满分76分) 17.如图,是圆柱体的一条母线,过底面圆的圆心,是圆上不与点,重合的任意一点,已知棱,,. (1)将四面体绕母线转动一周,求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积; (2)求直线与平面所成的角的大小. 18.已知椭圆的左焦点为,为坐标原点. (1)求过点、,并且与抛物线的准线相切的圆的方程; (2)设过点且斜率为的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,求的取值范围. 19.某景区欲建两条圆形观景步道,(宽度忽略不计),如图所示,已知,(单位:米),要求圆与,分别相切于点,,圆与,分别相切于点,. (1)若,求圆,的半径(结果精确到0.1米) (2)若观景步道,的造价分别为每米1千元与每米1.5千元,设,则当多大时,总造价最低?最低总造价是多少?(结果分别精确到和1千元) 20.设是定义在上的函数,且,对任意,,若经过点的直线与轴的交点是,则称为、关于函数的平均数,记为. (1)若,求的表达式; (2)若对任意,,且,都有,求证:; (3)若对任意,,且,都有成立,求证:函数在上为增函数,且. 21.对于一组向量,令,如果存在,使得,那么称是该向量组的“向量”. (1)设,若是向量组的“向量”,求实数的取值范围; (2)若,向量组是否存在“向量”?给出你的结论并说明理由; (3)已知、、均是向量组的“向量”,其中,.设在平面直角坐标系中有一点列,,,,满足:为坐标原点,为的位置向量的终点,且与关于点对称,与关于点对称,求的最小值. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $上海市建平中学2021-2022学年高三上开学考 数学试卷 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.设,若的反函数的图象经过点,则 . 【解析】若的反函数的图象经过点, 则函数的图象经过点,即,解得. 2.行列式中,6的代数余子式的值是 . 【解析】6的代数余子式. 3.已知全集,集合,则 . 【解析】全集,集合或,. 4.在的二项展开式中,系数最大的项是 . 【解析】展开式的通项为,若系数最大, 则为偶数,分别令,其系数分别为, 故当时,系数最大的项是. 5.已知复数满足,则 . 【解析】复数满足,所以,即,所以, 所以. 6.关于的方程有大于1的实数根,则实数的取值范围是 . 【解析】关于的方程有大于1的实数根,所以,即, 解得,所以实数的取值范围是. 7.已知地球半径为6371公里,则在东经圈上分别为位于北纬与的甲、乙两地之间的球面距离为 公里(四舍五入,精确到1公里) 【解析】甲、乙两地都在东经,纬度差是, 所以、两地的球面距离是过、 的大圆的劣弧的长, 故劣弧的长为公里. 8.若最小值为,最大值为,则 . 【解析】,定义域为 当时,取最小值为2,当或时,取最大值为4, 故,; . 9.奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为 【解析】因为为奇函数,且在上是增函数,, 所以,在内也是增函数, 所以,即或