2023年中考数学复习讲义　——三角形常用模型

知识点四 三角形常用模型* 【知识梳理】 模型一：“手拉手”与“反向手拉手”模型 已知:在等腰△OAB中,OA=OB,在等腰 △OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,将 △OCD绕点O旋转一定角度后,连接AC, BD(称为“拉手线”,左手拉左手,右手拉右 手),相交于点E,连接OE 结论1:△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线 相等）； 结论2:EO平分∠AED; 结论3:两条拉手线AC,BD所在直线的夹角 与∠AOB相等或互补 已知:△AOB和△COD均是等腰直角三 角形,OA=OB,OC=OD.连接AC,BD 结论4:△AOC≌△BOD; 结论5:AC⊥BD 已知:△AOB和△COD均是等边三角形, 连接AC,BD交于点E,连接OE 结论6:△AOC≌△BOD; 结论7:∠AEB=60°; 结论8:EO平分∠AED 已知:在等腰△ABC和等腰△ADE 中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, 连接BE、CD(左手拉右手,右手拉左 手，称为“反向手拉手”全等模型） 将“反向手拉手”全等转化为“正向 手拉手”全等,方法如下:作出△ABC 关于AC的轴对称图形△AB'C,连 接EB' 结论:△AB'E≌△ACD 【经典例题】 例1:如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠ACB=30° ,以AC,AB为边向外作等边△ACD,△ABE,连接CE,BD.则CE的长为( ). A.3 B.4 C.5 例2:如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA 交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有( ) . A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 练1：如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC的中点为O，点E是AB上一点，过点O作OF上QE，交BC于点F,连接EF,若AE=1,则EF的长为 . 练2：把两个含有45°角大小不同的三角板如图①摆放，将小三角板ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图②,连接BD,EC. (1)当DE⊥AC时,AD与BC的位置关系是 ,AE与BC的位置关系是 . (2)如图②,连接BE,当点D在线段BE上时,∠BEC的度数为 . 练3.如图①,等腰△ABC和等腰△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,连接BD、CE, (1)若∠BAC=∠DAE=35°,求证:BD=CE; (2)连接BE,当点D在线段BE上时. ①如图②,若∠BAC=∠DAE=60°,则么BEC的度数为线段BD与CE之间的数量关系是 . ②如图③,若∠BAC=∠DAE=90°,AM为△ADE中DE边上的高,请判断∠BEC的度数及线段AM，BE，CE之间的数量关系并说明理由. 例3:如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接BE,点O是BE的中点,连接AO,若AO=1,则CD的长为 . 练4:在等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD中,∠AOB=∠COD=90° ,连接AD、BC,M为AD的中点,连接OM. (1)如图①，请写出OM与BC的数量关系，并说明理由； (2)将图①中的△COD旋转至图②的位置，其他条件不变，(1)中结论是否成立?请说明理由. 练5:在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,连接BE,CD,点M是CD的中点,连接AM. (1)观察猜想:如图①,当点B,A,E在一条直线上时,线段AM与BE的数量关系是 ,位置关系是 . (2)探究证明：当Rt△ABC和Rt△ADE的位置如图②所示时，(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)拓展延伸:将题中条件“AB=AC,AD=AE”改为“∠ABC=∠AED=30°”,其他条件不变,如图③，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AE=2，AB=6.请直接写出AM的取值范围. 【知识梳理】 模型二：“半角”模型 等腰三角形含半角 等边三角形含半角 等腰直角三角形 含半角 已知:∠BAC=2a, AB=AC, ∠DAE=∠BAC=α 知:∠BDC=120°, B