专题检测(五) 三角函数与解三角形（Word版）-【优化指导】2023高考数学（理科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(五)　三角函数与解三角形 1．(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C. (1)求∠C； (2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长． 解：(1)因为sin 2C＝sin C，所以2sin C cos C＝sin C， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，C＝. (2)因为△ABC的面积S＝ab sin C＝×a×6×＝6，所以a＝4. 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝48＋36－72＝12，所以c＝2， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋6＋2＝6(＋1). 2．(2022·福建漳州二模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a－b)2＝c2－ab. (1)求C； (2)若b＝5，c cos A＝1，求△ABC的面积． 解：(1)由(a－b)2＝c2－ab得a2＋b2－2ab＝c2－ab， 即a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由正弦定理得＝， 所以＝， 即c cos A＋c sin A＝5. ∵c cos A＝1，∴c sin A＝4， 所以S△ABC＝bc sin A＝×5×4＝10， 故△ABC的面积为10. 3．(2022·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin A sin C＝，求b. 解：(1)由S1－S2＋S3＝， 得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2ac cos B，所以ac cos B＝1. 由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－(舍去)， 所以ac＝＝， 则△ABC的面积S＝ac sin B＝××＝. (2)由sin A sin C＝，ac＝及正弦定理知 ＝＝＝， 即b2＝×＝，得b＝. 4．(2022·重庆育才中学二模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a cos B－b cos A＝c. (1)求的值； (2)若点D为边AB的中点，AB＝10, CD＝5，求BC的值． 解：(1)因为a cos B－b cos A＝c， 所以a·－b·＝c， 即a2－b2＝c2. 又＝＝， 所以＝＝×＝4. (2)如图，作AB边上的高CE，垂足为E， 因为tan A＝，tan B＝，所以＝. 又＝4，所以BE＝4AE. 因为点D为边AB的中点，AB＝10， 所以BD＝5, AE＝2, DE＝3. 在直角三角形CDE中，CD＝5， 所以CE＝＝4. 在直角三角形BCE中，BE＝8， 所以BC＝＝4. 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.BD为∠ABC的角平分线与AC交于点D. (1)若c＝2a，△ABD的面积为4，求△ABC的面积； (2)若∠ABC＝，BD＝2，AB＝4，求sin C的值． 解：(1)BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD，∴sin ∠ABD＝sin ∠CBD， ∵c＝2a， ∴S△ABD＝cBD sin ∠ABD ＝2aBD sin ∠CBD＝2S△CBD， 又∵S△ABD＝4，∴S△ABC＝4＋×4＝6. (2)∵∠ABD＝∠CBD＝，AB＝4，BD＝2， 在△ABD中，由余弦定理得 AD＝ ＝2， ∴BD2＋AD2＝AB2，∴BD⊥AC. 又∵BD为∠ABC角平分线， 则∠BDC＝，∠DBC＝， 所以C＝，则sin C＝. 6．(2022·湖南长沙雅礼中学模拟)在锐角△ABC中，已知AB2＋AC2－BC2＝6AB·BC cos B. (1)求证：tan B＝3tan A； (2)若sin C＝，求A的值． (1)证明：由题设得，AC cos A＝3BC cos B， 由正弦定理知，＝， ∴sin B cos A＝3sin A cos B， 又0＜A＜，0＜B＜， 即cos A＞0，cos B＞0. ∴＝3·，即tan B＝3tan A. (2)解：∵sin C＝，△ABC为锐角三角形， 则cos C＝， ∴tan C＝2，则tan [π－(A＋B)]＝2， 即tan (A＋B)＝－2. ∴＝－2， 由(1)可得＝－2， 解得tanA＝1或tan A＝－(舍). 综上，可知tan A＝1，故A＝. 7．(2022·江苏金陵中学模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝tan B＋tan C. (1)求角C的大小； (2)若边c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 解：(1)由正弦定理得 ＝＋ ＝＝＝， 因角A，B为锐角，所以sin A＞0，cos