立体几何垂直与二面角教案-2023届高三数学二轮专题复习

立体几何——垂直与二面角(教案) 一、重点要点排查报告 二、典例解析 （1） 相关定理 1、 线面垂直 ①文字语言：一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. ②图形语言： ③符号语言： 2、 面面垂直 ①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. ②图形语言： ③符号语言： 3、面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 4、垂直之间的转化 5、 二面角计算 设平面的法向量分别为＝(a1，b1，c1)，(a2，b2，c2).是与的交线，设二面角的平面角为，则 (二)例题解析 例1 （2018年全国3,19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 如图，连接CM，因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM. 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. （2）如图，以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D−xyz. 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点. 由题设得， 设是平面MAB的法向量,则 即 可取. 是平面MCD的法向量,因此 ，， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是. 例2 （云南省第二次统测，19）如图，在斜三棱柱中，四边形为菱形,. （1） 求证：; （2） 若平面平面，，求二面角的正弦值. (1)证明：取的中点O，连接. 是菱形， 是正三角形. 又 (2) 再由（1）有两两相互垂直 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则 设为平面的一个法向量，则 取，所以 同理，可得平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为 3、 课堂检测 1.如图，在三棱锥中，，，且与平面所成角为. （1） 求证：平面平面. （2） 过的平面交于点，若平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值. 2.（2017年全国3,19）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值． （1）由题设可得， 又是直角三角形，所以 取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO 又由于 所以 （2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故 设是平面DAE的法向量，则 可取 设是平面AEC的法向量，则同理可得 则 所以二面角D-AE-C的余弦值为 4、 课堂小结 五、课外作业 （2018年全国2,20）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 解：（1）因为，为的中点，所以，且. 连结.因为，所以为等腰直角三角形， 且，. 由知. 由知平面. （3） 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得 取平面的法向量. 设，则. 设平面的法向量为. 由得，可取， 所以.由已知得. 所以.解得（舍去），. 所以.又，所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $