专题7-1 立体几何压轴小题：截面与球（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）

专题7-1 立体几何压轴小题；截面与球 目录 讲高考 1 题型全归纳 2 【题型一】截面最值 2 【题型二】球截面 3 【题型三】截面综合难题 4 【题型四】线面垂直型求外接球 5 【题型五】特殊三角形定球心型 6 【题型六】定义法列方程计算型求球心 6 【题型七】内切球 7 【题型八】棱切球型最值 8 【题型九】内切球与外切球一体综合 9 【题型十】球综合 9 专题训练 10 讲高考 1．江西·高考真题）如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别为，，则必有（    ） A． B． C． D．的大小不能确定 2．（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 3．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 6．（2020·全国·统考高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型全归纳 【题型一】截面最值 【讲题型】 例题1..正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号） ①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为；③当，时，设与棱的交点为，则；④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值． 【讲技巧】 求截面方法： 1. 平行线法： （1）利用两条平行线确定一个平面， （2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行 2. 相交线法： （1） 两条相交直线确定一个平面 （2） 若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内 【练题型】 1.如图，长方体中，AB=BC=4，，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，则长方体被平面AMN所截得的截面面积为___________. 2.如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A． B． C． D． 【题型二】球截面 【讲题型】 例题1.在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A．π B． C． D．2π 【讲技巧】 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。 【练题型】 1.已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________. 2.在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一半径为的球，则平面截该球的截面面积为________． 【题型三】截面综合难题 【讲题型】 例题1.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【练题型】 1.在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．可能值为 D．当取值最大时， 2.如图，是边长为6的正三角形的一条中位线，将△沿直线翻折至△，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为______；过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是______. 【题型四】线面垂直型求外接球 【讲题型】 例题1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．6 【讲技巧】