专题19 极值点偏移-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

专题19 极值点偏移 ( 一、 核心先导 ) ( 二、 考点再现 ) 考点1、极值点偏移基本定义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： ①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏.考点2、极值点偏移几种常考类型 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 考点3、极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. ( 三、 解法解密 ) 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、极值点偏移处理方法： （1）求出函数的极值点； （2）构造一元差函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、答题模板 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.（2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来 ( 四、 考点解密 ) 例1．（2022·甘肃酒泉·敦煌中学校考模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，且，使得，求证：. 例2．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数． (1)当时，证明； (2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围． 例3．（2022·天津河东·统考二模）已知函数（且）． (1)，求函数在处的切线方程． (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，且，证明：． 例4．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 (1)求证：当时，； (2)当方程有两个不等实数根时，求证： 例5．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且. 例6．（2022·全国·校联考模拟预测）已知函数f(x)＝x－alnx (1)求函数f(x)的极值点； (2)若方程有2个不等的实根，证明：. ( 五、 分层训练 ) A组 基础巩固 1．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知函数 （1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值； （2）若函数有两个极值点，求证： 2．（2021·浙江·模拟预测）已知函数. (1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：； (3)设函数的两个零点、，求证：. 3．（2021·江苏南通·一模）已知函数，. （1）求函数的增区间； （2）设，是函数的两个极值点，且，求证：. 4．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：. 5．（2021·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知定义在上的函数． （1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围； （2）若，，，为的极小值，求证：． 6．（2021·江西萍乡·统考二模）已知函数，函数满足． （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个不同的零点、，证明：． 7．（2021·吉林松原·校考三模）设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取