大题强化训练（5）-2023届高三数学高考复习大题强化训练（新高考地区专用）

2023届大题强化训练(5) 1.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 2.从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6. （1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求. 3.在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的大小； （2）在边上，且，求的最大值. 4.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平面平面ABC，M是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 5.已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点． （1）若，求l的方程； （2）若点，直线AP交直线于点Q．设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值． 6.已知函数（其中是自然对数底数）. （1）求的最小值； （2）若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届大题强化训练(5) 1.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】（1）设的公差为，的公比为，，， 联立，整理可得，解得， 所以，. （2）由（1）知， 则，① ，② ①-②，得 . 所以. 2.从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6. （1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求. 【答案】（1） （2）（ⅰ）详见解析，（ⅱ） 【解析】（1）， 所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）（ⅰ）因为， 又因为， 所以， 即. （ⅱ） ++ 3.在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的大小； （2）在边上，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）因为， 根据正弦定理可得：， 可化为：， 因为，所以，. 所以原式可化为：， 因为，所以，所以原式可化为，即. 因为，所以. （2）设，，则， 在中，由余弦定理有： ，即① 在和中，由余弦定理有： ，， 又，所以. 所以，整理可得② 由①②可得：. 所以，， 所以. 设，， 因为，所以， 当且仅当，即，即时等号成立. 所以， 所以，的最大值为. 4.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平面平面ABC，M是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】（1）连接交于N，连接MN. 在三棱柱中，四边形平行四边形， 又，所以N是中点， 在中，M是的中点， 所以， 又面，面， 所以平面. （2）法一：取BC的中点O，连接OA，. 在中，，O为BC的中点，所以， 又面面ABC，面，面面， 所以面ABC. 在三棱柱中，四边形是平行四边形， 因为M是棱的中点，故， 又， 所以， 所以，即， 而，所以. 以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz， 故，，，，. 所以，， 设平面的法向量， 则，即取，得， 所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量， 则，即取，得， 所以是平面BMC的一个法向量， 所以， 设二面角的大小为， 由图可知，， 所以二面角的余弦值为. 法二：取BC的中点O，连接OA，，OM，过作，， 垂足分别为G，H，连结GH. 在中，，O为BC的中点，所以， 又面⊥面ABC，面，面面， 所以面ABC. 又面ABC，所以， 设，则. 在等边中，O为BC的中点，所以， 又，，面，所以面， 因为面，所以， 在三棱柱中，，四边形是平行四边形， 所以四边形是矩形，， 故四边形的面积为. 因为面ABC，故面， 又面，所以. 在中，. 因为面，即面，面，所以， 又，，OM，面，所以面， 所以四棱锥的体积为，解得， 所以，，，， 所以，，所以， 因为面，面，所以， 又，，，面， 所以面， 又面，所以， 所以是二面角的平面角. 在中，， 所以 所以二面角的余弦值为. 5.已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点． （1）若，求l的方程； （2）若点，直线AP交直线于点Q．设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）双曲线C的左焦点为， 当直线l的斜率为0时，此时直线为，与双曲线C