大题强化训练（4）-2023届高三数学高考复习大题强化训练（新高考地区专用）

2023届大题强化训练(4) 1.已知正项数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望. 3.在中，的平分线与边交于点，且. （1）若，求的面积； （2）求的最小值. 4.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍” (如图2)。 （1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值. 5.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆只有一个公共点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距. 6.已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若且，证明：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届大题强化训练(4) 1.已知正项数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】（1）将等式右边分解得， 因为已知，所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以， 即. 所以数列的通项公式为 （2）结合（1）知， 所以当为偶数时，. 当奇数时，. 所以数列的前项和 2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】（1）记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表 示“第局乙获胜”，则，. 则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立. 由概率加法公式和乘法公式，有 ． （2）的可能取值为， ， ， ． 故的分布列为 2 3 4 5 所以 3.在中，的平分线与边交于点，且. （1）若，求的面积； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）在中，，，所以， 又是的平分线，所以，， 故， 在中，，，故，， 所以的面积. （2）设，则，，， 所以，，解得， 在中，根据正弦定理得， 得， 所以 ， 当且只当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 4.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍” (如图2)。 （1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH， 由图1可知，四边形EBCF是矩形，且， ∴O是线段BF与CE的中点， ∴且， 在图1中且，且． 所以在图2中，且， ∴且， ∴四边形AOHG平行四边形，则， 由于平面GCF，平面GCF， ∴平面GCF． （2）由图1，，，折起后在图2中仍有，， ∴即为二面角的平面角． ∴， 以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图， 设，则、、， ∴，， 易知平面ABE的一个法向量， 设平面OAB的一个法向量， 由，得，取，则，， 于是平面的一个法向量， ∴， ∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为． 5.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆只有一个公共点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）依题意，直线的方程为，即， 由，消去得. 由于直线与椭圆只有一个公共点，故， 即， 因为在椭圆上，所以， 即，整理得， 解得， 故椭圆的标准方程：. （2）方法一：依题意直线斜率不为0， 可设直线为，则， 联立椭圆方程，可得 ， 由韦达定理得， 进而，有 由直线的方程为，得 直线A