大题强化训练（2）-2023届高三数学高考复习大题强化训练（新高考地区专用）

2023届大题强化训练(2) 1.请在这三个条件：①；②；③，中任选一个条件补充在下面的橫线上，并加以解答.如图，锐角中，，______，，在边上，且，点在边上，且，交于点. （1）求的长； （2）求及的长. 2.设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，对任意总有恒成立，求实数的最小值． 3.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望. 4.已知三棱台中，底面，，，，，分别是，的中点，是棱上的点. （1）求证：； （2）若是线段的中点，平面与的交点记为，求二面角的余弦值. 5.已知椭圆的离心率是，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知，直线与椭圆交于、两点，若直线、的斜率之和为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 6.已知，，，为的导函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届大题强化训练(2) 1.请在这三个条件：①；②；③，中任选一个条件补充在下面的橫线上，并加以解答.如图，锐角中，，______，，在边上，且，点在边上，且，交于点. （1）求的长； （2）求及的长. 【答案】（1）5 （2）,. 【解析】（1）选择①， 锐角中，，， 由正弦定理得, 所以, 选择②， 因为，所以， 在中，由余弦定理得, 所以，整理得， 解得或（舍）， 选择③， 因为，所以， 在中，由余弦定理得, 所以，解得. （2）由（2）知，选择①，②，③所得结果一样，因此选择②，③也可得， 所以， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以 ， 在中，，， ， ， 由，所以， . 2.设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，对任意总有恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）或（其中），; （2）. 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由得， 因为是与的等比中项， 所以． 化简得且， 解方程组得或． 故的通项公式为或（其中）； 因为， 所以，， 所以， 因，满足上式， 所以； （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以 ， 易见随n的增大而增大，从而恒成立， 所以，故的最小值为. 3.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】（1）记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表 示“第局乙获胜”，则，. 则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立. 由概率加法公式和乘法公式，有 ． （2）的可能取值为， ， ， ． 故的分布列为 2 3 4 5 所以. 4.已知三棱台中，底面，，，，，分别是，的中点，是棱上的点. （1）求证：； （2）若是线段的中点，平面与的交点记为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）如图所示： 取线段的中点，连接，，易得，所以，，，四点共面. 因为，，所以，又因为底面，平面， 所以，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，分别是，的中点，所以，所以平面， 因为平面，所以 因为，， 又因为，所以四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面； 所以平面，因为平面，所以. （2）延长与相交于点，连接，则与的交点即为. 由，分别为和的中点知为线段的三等分点，且， 由（1）知，所以、、两两垂直， 以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设平面的法向量，则取，则 易得平面的一个法向量， 设二面角为，由图易知为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为 5.已知椭圆的离心率是，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知，直线与椭圆交于、两点，若直线、的斜率之和为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积是否存在最大值，且最大值为 【解析】（1）由已知可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）设点、， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， ，，解得， 所以，，