1.1 直角三角形的性质和判定（I）-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(湘教版)

1.1 直角三角形的性质和判定（I） 知识点一 直角三角形的性质 性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。 性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 性质定理3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点二 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形。 题型一 直角三角形性质的应用 1.利用直角三角形的性质进行计算 【例题1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长（    ） A． B．1 C．2 D． 2.利用直角三角形的性质进行证明 【例题2】如图，已知和均为直角三角形，其中，E为的中点，求证：． 解题技巧提炼 证明线段之间的倍分关系，常利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。同时注意可利用线段垂直平分线的性质实现线段间的转化。 【变式1-1】如图，在中，，，交于D，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式1-2】如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，，求线段BE的长． 【变式1-3】如图是一张长方形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，等边三角形中，，于点D，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为______． 【变式1-5】如图，四边形中，，的垂直平分线交分别于点M、N，点M为中点．求证：． 【变式1-6】已知：如图，在中，、是高，、分别是、的中点， 求证：． 3. 构造直角三角形解决实际问题 【例题3】如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得，他沿方向走了20米，到达D处，测得，则大树的高度为（　　）米. A．6 B．8 C．10 D．20 【例题4】如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 解题技巧提炼 此类问题的求解关键是通过构造含30°角的直角三角形，先将实际问题转化为含30°角的直角三角形问题，然后结合直角三角形的性质进行求解。 【变式1-7】如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（　　） A． B． C．3.5km D． 【变式1-8】“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．是某小区一块三角形空地，已知，，，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（　　）元． A．36000 B．24000 C．18000 D．12000 【变式1-9】如图，一架直升机上午8时从A地出发，以200千米/时的速度向正北方向飞行，9时到达B处．据机场导航传来的信息，在C处有一座高山，因受天气影响，高山周围80千米能见度低，飞机飞行将会遇到危险．经测量，，．求： (1)的长是多少？ (2)则该直升机继续向正北方向飞行有无危险？ 【变式1-10】“剑门雄关天下险，女皇故里美名扬”．2022年11月22日第34届女儿节在广元南河水上公园拉开帷幕，文艺表演后，举行了精彩的凤舟竞赛，经过激烈角逐，旺苍、剑阁、苍溪代表队分别夺得前三名．如图，若苍溪代表队划行的彩船从点A出发，以每秒4米的速度向正北方向划行，经过70秒到达点B处．在出发地A和点B处分别望向湖中心C处，测得，． (1)求湖中心C到点B的距离； (2)彩船到达B点后，继续向正北方向航行，问：还要经过多长时间，彩船到湖中心C的距离最短？ 题型二 直角三角形的性质与判定的综合应用 【例题5】已知：如图，，E为垂足，的中线的延长线交于点G，．求证：是直角三角形． 【变式2-1】已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【变式2-2】如图，中，，是高，，求证：． 【变式2-3】如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为______． 题型三 与直角三角形有关的探究题 【例题6】如图，中，，以直角边AC为腰，向外作等腰直角三角形，，，点E是