第7讲 拓展一：全等三角形常见模型（题型精讲）-2023年中考数学一轮复习讲练测（全国通用版）

第7讲 拓展一：全等三角形常见模型（精讲） 目录 模型1：公共边模型 模型2：公共角模型 模型3：形模型 模型4：角平分线模型 模型5：一线三等角模型 模型6：手拉手模型 模型1：公共边模型 全等三角形中，公共边模型是指在证明两个三角形全等时，有一条边是公共边.比如：利用三角形的高线，作为公共边（如图） 如图在中，，我们可以得到，（公共边） 此时如果要证，已经有了一组角和一组边对应相等， 如果此时，可以利用，证明三角形全等； 如果此时，则可用，证明三角形全等。 典型例题 例题1．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：补充条件， 在与中 ∴， 故选：C． 例题2．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，，要使，需补充一个条件，你补充的条件是________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵，， ∴可以补充的条件为， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 例题3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)请说明的理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 （2）利用得到，所以． 【详解】（1）证明：、分别是和的高， ，， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， 即， ． 同类题型归类练 1．（2023秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期末）如图，已知，添加一个条件，使，你添加的条件是____________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】可以添加， 在和中， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2023·全国·九年级专题练习）小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分、可将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理． 【答案】见解析 【详解】解：在和中， ， ， ， 平分， 是的平分线． 3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，，，、相交于点O．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在和中，， ， ， ， 是等腰三角形． 模型2：公共角模型 全等三角形中，公共角模型是指在证明两个三角形全等时，有一个角是公共角，其常见类型为： 如图，在中，， 在中，，，， 可以得到：，，即 此时我们可以得到：。 典型例题 例题1．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，已知，则的度数为（      ） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】A 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 故选A． 例题2．（2022秋·辽宁大连·八年级大连市第三十七中学校考期末）如图，已知，，请你添加一个条件（不加辅助线）使，你添加的条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即． 又∵， ∴可以添加，此时满足； 添加条件，此时满足； 添加条件，此时满足； 故答案为：（答案不唯一）． 例题3．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，点在上，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)32 【详解】（1）（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）（2）解：∵， ∴， ∴四边形的面积， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 同类题型归类练 1．（2022秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，已知，，还需要添加条件为 ___________（只写一种）使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵，， ∴添加条件，利用可以判定； 添加条件，利用可以判定； 添加条件，得出，即，利用可以判定． 故答案为：或或（答案不唯一，只写一种即可）． 2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 3．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，C是上一点，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴ （2）∵ ∴， ∴，且 ∴ 模型3：形模型 全等三角形中，模型是指在证明两个三角形全等时，有一组顶角互为对顶角的两个三角形，（其常见类型为：如图在和E中，，要证，我只需知道和一组对应边相等即可。 典型例题 例题1．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期中）庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积，其中水域面积，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以