精品解析：河南省开封市2022-2023学年高三上学期1月期末联考数学试题（理科）

2022年河南省高三期末联考 数学（理科） 考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 2. 的实部与虚部之和为（ ） A B. C. D. 3. 在数列中,,,则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 4. 过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在内是增函数 6. 已知三个单位向量，，满足，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知为球球面上的三个点，若，球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 9. 函数的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 双曲线的左、右顶点分别为，，为上一点，若点的纵坐标为1，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，设，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若，满足约束条件则的最大值为______. 14. 若从区间内，任意选取一个实数，则曲线在点处的切线的倾斜角大于45°的概率为______. 15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为___________． 16. 某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. ，，分别为的内角，，的对边.已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动． （1）求甲获得奖金的期望； （2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD两侧． （1）证明：平面PAB． （2）若，，，且在上的投影为3，求平面ACF与平面ACE所成锐二面角的余弦值． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若是函数极小值点，求a的取值范围． 21. 已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值． （二）选考题.共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分. [选修4—4，坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中,曲线参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程; （2）若直线与曲线交于两点,点,求