(教用word)第5章　5.2　5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

第2课时　等差数列前n项和的应用 学习任务目标 1．会用等差数列的前n项和解决实际问题． 2．会用裂项法求和．(数学运算) 1．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9＝8，则S17＝________． 136　解析：由题意得S17＝17×＝＝136． 2．等差数列{an}中，a1＝1，a5＝9，若数列的前n项和为Sn，则S10＝________． 　解析：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，a5＝9，得a5＝a1＋4d＝9，解得d＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n＝1， 设bn＝＝＝×， 所以S10＝＝×＝． 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，an－an－1＝－2，则Sn的最大值为________． 30　解析：由an－an－1＝－2可得数列{an}是以a1＝10为首项，－2为公差的等差数列， 所以an＝10－2(n－1)＝12－2n． 令an＝12－2n≥0，解得n≤6． 所以a1，a2，…，a5＞0，a6＝0，a7，a8，…，an＜0， 则Sn的最大值为S5＝S6＝＝30． 知识点　等差数列前n项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝． (2)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和． [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)等差数列的前n项和Sn一定是关于n的二次函数． (×) (2)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值． (√) (3)若两个等差数列的前n项和分别为An，Bn，则一定有＝． (×) 2．设等差数列{an}是等差数列，公差d>0，且Sn为其前n项和．若S10＝9a1＋40d，则Sn取最小值时，n等于(　　) A．5　　B．6　　C．5或6　　D．6或7 C　解析：因为S10＝9a1＋40d，所以10a1＋45d＝9a1＋40d，所以a1＝－5d，即a6＝0．因为数列{an}是等差数列，公差为d＞0，所以n＝5或6时，Sn取最小值． 等差数列前n项和的实际应用 1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏　　B．3盏　　C．5盏　　D．9盏 B　解析：设这个塔顶层有a盏灯， ∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍， ∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏， ∴381＝＝127a，解得a＝3，则这个塔顶层有3盏灯． 2．《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月(15日)，一共能织布几尺(　　) A．75　　B．85　　C．105　　D．120 D　解析：根据题意，设该女子每日所织的布为数列{an}，由已知可得：数列{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 又由S7＝28，a2＋a5＋a8＝15， 则有 解得d＝1，a1＝1， 则an＝1＋(n－1)＝n， 则S15＝＝120． 3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面4节的容积共3 L，下面3节的容积共4 L，则第5节的容积为________L，9节竹的容积共为________L． 　　解析：设自上第一节竹子容量为a1，依次类推，数列{an}为等差数列． 由题意可得S4＝3，a7＋a8＋a9＝4， 则即 解得 ∴a5＝＋4×＝， ∴S9＝9×a1＋＝9×＋＝，即自上而下的第5节的容积为升，这9节竹子的总容积为升． 等差数列前n项和的最值问题 已知等差数列{an}的前5项依次是－8，－5，－2，1，4．等差数列{bn}中，b1＝10，d＝－3． 探究1：数列{an}的前n项和Sn有最大值还是最小值，n为多少时取得？ 提示：当n＝3时，Sn取得最小值． 探究2：数列{bn}的前n项和Sn有最大值还是最小值，n为多少时取得？ 提示：当n＝4时，Sn取得最大值． 探究3：你知道等差数列{an}前n项和Sn取得最值的原因吗？ 提示：等差数列{an}前n项和Sn＝nc1＋d＝n2＋n，是关于n的二次函数形式． 【例1】设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，________．从①an＝an－1－3(n≥2)；②S5＝a3a5中任选一个，补充在问题中并作答： (1)求数列{an}的通项公式；