(教用word)第5章　5.2　5.2.1　第2课时　等差数列的性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

第2课时　等差数列的性质 学习任务目标 1．理解等差中项的概念．(数学抽象) 2．能根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质．(逻辑推理) 3．能运用等差数列的性质解决有关问题．(数学运算) 4．能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题．(数学建模) (1)已知数列{an}的通项公式为an＝－n＋3，则数列{an}是等差数列． (2)已知等差数列{an}的前3项为2，7，12，则a1＋a5＝24，a2＋a4＝24． 知识点　等差数列的性质 1．等差中项： (1)条件：如果x，A，y成等差数列． (2)结论：那么A叫做x与y的等差中项． (3)满足的关系式是x＋y＝2A． 2．等差数列的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq． ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． [微训练] 1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9． (×) (2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，a4，…是等差数列． (×) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2． (√) 2．在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝(　　) A．－1 B．9 C．1 D．6 B　解析：由题意可知a3＋a7＝2a5， ∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9． 等差中项的概念及应用 1．17＋，13－的等差中项为________． 15　解析：设A为其等差中项，则A＝＝＝15． 2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项． ∴b＝＝3．又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1．又c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5． ∴该数列为－1，1，3，5，7． 3．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值． 解：由x1＝3，得2p＋q＝3，① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，② 将②代入①，得p＝1． 所以p＝q＝1． 等差数列的性质 探究1: 数列1，2，3，4，5，6，7，8，…是等差数列吗？1，3，5，7，…是等差数列吗？2，4，6，8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？ 提示：这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列． 探究2：在等差数列{an}中，若an＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？ 提示：由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq． 对于任意等差数列{an}，设其公差为d． 则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d ＝2a1＋(s＋t－2)d， ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d ＝2a1＋(p＋q－2)d， 因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq对任意等差数列都适用． 探究3：在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否立？ 提示：在探究2的结论中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立． 【例1】已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值． 解：(方法一)设{an}的公差为d，则解得故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40． (方法二)在等差数列{an}中，因为5＋25＝2×15，所以有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40． (方法三)因为5，15，25是等差数列，所以a5，a15，a25也是等差数列，因此a25－a15＝a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40． 【例2】已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值． 解：由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a