(教用word)第5章　5.1　5.1.2　数列中的递推-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

5.1.2　数列中的递推 学习任务目标 1．能根据递推式写数列中的项．(数学运算) 2．掌握数列的递推公式及应用．(理解推理) 3．理解Sn与an的关系，能运用这个关系解决相关问题．(数学运算) 1．，，，，…的一个通项公式是___________． an＝　解析：经观察得出：数列为：，，，，…，∴数列的一个通项公式为an＝． 2．数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝3n＋1，则数列{an}的通项公式为________． an＝　解析：∵a1＋＋＋…＋＝3n＋1①， ∴a1＋＋＋…＋＝3n，(n≥2，n∈N*)②． ①－②可得：＝2×3n，∴an＝2n×3n＝6n(n≥2)． 当n＝1时，a1＝31＋1＝9≠61，上式不成立， 综上可得an＝ 知识点一　数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． [微训练] 判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)递推公式不能用来表示数列． (　　) ×　提示：递推公式也是给出数列的一种重要方法． (2)所有的数列都有递推公式． (　　) ×　提示：并不是所有的数列都有递推公式．例如：精确到1，0.1，0.01，0.001，… 的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． (3)由公式an＋1＝an－2(n≥1)可写出数列{an}的所有项． (　　) ×　提示：还需知道数列中至少一项的值． 知识点二　数列的前n项和 1．定义：一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． 2．an与Sn的关系 一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn，那么：当n≥2时，Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，所以Sn＝Sn－1＋an，因此an＝ [微训练] 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为(　　) A．4　　B．6　　C．8　　D．10 C　解析：由已知a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n－1，则an＝________． 　解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－3－1＝－3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n－1－[(n－1)2－3(n－1)－1]＝2n－4，当n＝1时，2－4＝－2≠a1，所以an＝ 由递推公式写数列的项 1．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则a5＝(　　) A．　　B．－　　C．－2　　D． D　解析：由a1＝，an＋1＝， 可得a2＝＝＝，a3＝＝＝－2，a4＝＝＝，a5＝＝＝． 2．已知数列{an}，a1＝－1且an＋1(1－an)＝1(n∈N＋)，则a2 022＝(　　) A．－1　　B．2　　C．　　D． B　解析：因为an＋1(1－an)＝1(n∈N＋)⇒an＋1＝(n≥1)，故a1＝－1，a2＝，a3＝2，a4＝－1，故数列{an}为周期数列且周期为3， 故a2 022＝a3×674＝a3＝2． 3．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)； (2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N＋)； (3)a1＝－1，an＋1＝an＋(n∈N＋)． 解：(1)∵a1＝0，∴a2＝a1＋2×1－1＝1， a3＝a2＋2×2－1＝4，a4＝a3＋2×3－1＝9， 归纳猜想an＝(n－1)2(n∈N*)． (2)∵a1＝1，∴a2＝a1＋＝，a3＝＝2，a4＝a3＋＝，归纳猜想an＝(n∈N*)． (3)∵a1＝－1，∴a2＝a1＋＝－， a3＝a2＋＝，a4＝a3＋＝－， 归纳猜想an＝－(n∈N*)． an与Sn的关系 在《张丘建算经》中有一题“今有女善织，初日织五尺，日益功疾”．意思为：现有一善于织布的女子，第一天织了5尺布，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布．假设该女子第二天开始，每天比前一天多织5尺布． 探究1：该女子第6天织布多少尺？第7天呢？ 提示：a1＝5，a2＝10，a3＝15，a4＝20，a5＝25，a6＝30，a7＝35． 探究2：该女子前6天一共织布多少尺？前7天呢？ 提示：S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5＋10＋15＋20＋25＋30＝105． S7＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5＋10＋15＋20＋25＋30＋35＝140． 探究3：该女子前7天一共织布的数量比前6天一共织布的数量多多少尺？ 提示：S7－S6＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7)－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＝a7＝35． 【例】(1)已知数列