(教用word)第5章　5.1　5.1.1　数列的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 学习任务目标 1．理解数列的概念，能根据所给的一列数，归纳总结数列的通项公式．(数学抽象、逻辑推理) 2．理解数列的函数特性，会画数列的图象，会根据数列的通项判断数列的单调性．(逻辑推理、数学运算) (1)正整数集用符号N*表示． (2)函数的表示方法有：列表法、图象法、解析法． (3)按规律填数： ①已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，________，55，…． 提示：从第3个数开始，每一个数等于其前面2个数的和． ②1，2，－1，3，－4，7，________，18，－29，…． 提示：设该数为x，观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，可知：1－2＝－1，2－(－1)＝3，－1－3＝－4，3－(－4)＝7，得x＝－4－7＝－11． 知识点一　数列 1．数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项(或首项)，第2项…… 3．项数：组成数列的数的个数称为数列的项数． 4．数列的分类 类别 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋 势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)数列中的项互换次序后还是原来的数列． (×) (2)所有的数列可分为递增数列和递减数列两类． (×) (3){an}与an的意义一样，都表示数列． (×) 知识点二　数列的通项 1．数列的通项 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…， 其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项．简记为{an}． 2．数列的通项公式 一般地，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用an＝f (n)来表示，其中f (n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称这个式子为这个数列的一个通项公式． [微训练] 1．在数列1，，，，…，，…中，是它的(　　) A．第5项　　　　　　 B．第6项 C．第7项 D．第8项 C　解析：由＝，解得n＝7． 2．数列，，，…的一个通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ A　解析：根据规律可知数列，，，…的前三项为，，，所以该数列的一个通项公式为an＝． 知识点三　数列与函数 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 数列的概念 1．下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数； ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表达式是唯一的． 其中正确的是(　　) A．①②　　B．①②③　　C．②③　　D．①②③④ A　解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的．数列作为一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是an＝sin ，也可以是an＝cos．故①②正确，③④错误． 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， C　解析：A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意． 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 B　解析：因为an＝＝，显然随着n的增大，2－是递增的，故an是递减的，则数列an是递减数列． 数列的通项公式 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图(1)所示的数称为三角形数，如图(2)所示的数称为正方形数． 探究1：三角形数与正方形数所构成的数列的第5项分别是多少？ 提示：15，25． 探究2：你能写出三角形数与正方形数构成的数列的通项公式吗？ 提示：三角形数：an＝；正方形数：an＝n2． 探究3：在数①289，②1 024，③1 225，④1 378中，既是三角形数又是正方形数的是哪个？ 提示：因为1 225＝352＝，所以1 225既是三角形数又是正方形数． 【例1】写出下列数列的一个通项公式． (