(教用word)第5章　5.3　5.3.2　第1课时　等比数列的前n项和-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 学习任务目标 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算) 2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算) 3．掌握等比数列的一些简单性质及应用．(数学运算、逻辑推理) (1)已知等差数列{an}中，a1＝3，d＝4，则S6＝78． (2)已知等比数列{an}中，a3a6＝18，则a1a8＝18． 知识点一　等比数列的前n项和 已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、公比q＝1 求和 公式 Sn＝ Sn＝ Sn＝na1 [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝． (×) (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na． (√) (3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝． (×) 2．已知数列{an}是公比为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝2，a4＝8，则S7＝(　　) A．31　　B．63　　C．127　　D．255 C　解析：由题意，设数列{an}的公比为q＞0，则⇒所以S7＝＝127． 3．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，且q>0，则S7＝________． 127　解析：因为等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，且q＞0，所以q4＝＝＝16，所以q＝2，所以S7＝＝127． 知识点二　等比数列前n项和的性质 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列． (2)如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列． (3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比＝q． [微训练] 1．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．　　B．－　　C．　　D． A　解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝1，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝． 2．等比数列{an}共有2n＋1项，其中a1＝2，偶数项的和为84，奇数项的和为170，则q＝________． 2　解析：根据题意，等比数列{an}中， a1＋a3＋…＋a2n＋1＝170， a2＋a4＋…＋a2n＝84， 又由a1＝2，则a3＋…＋a2n＋1＝170－2＝168， 则q＝＝2． 知识点三　错位相减法求和 推导等比数列前n项和的方法是错位相减法，一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的前n项和． [微训练] 1．下列数列中，可以用错位相减法求和的是(C) A．{n2} B．{n＋3n} C． D． 2．数列{n×2n－1 }的前n项和为(　　) A．－3＋(n＋1)×2n　 B．3＋(n＋1)×2n C．1＋(n＋1)×2n　 D．1＋(n－1)×2n D　解析：设数列{n×2n－1 }的前n项和为Tn， 则Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， 2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 两式作差得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n×2n＝－n×2n＝－1＋(1－n)×2n， 故Tn＝1＋(n－1)×2n． 等比数列前n项和的有关计算 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝，S3＝，则数列{an}的公比q＝(　　) A．3　　B．　　C．3或 　　D．以上都不对 C　解析：∵等比数列{an}中，a2＝，S3＝， 显然q≠1，所以 整理可得，3q2－10q＋3＝0， 解可得q＝3或q＝． 2．在等比数列{an}中，a1＝2，an＝－64，Sn＝－42，则公比q等于________． －2　解析：∵a1＝2，an＝－64，Sn＝－42， ∴＝－42， 则公比q＝－2． 3．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3． (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m． 解：(1)因为等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．设等比数列{an}的公比为q， ∴1×q4＝4×(1×q2)，解得q＝±2(q≠0)， 当q＝2时，an＝2n－1， 当q＝－2时，an＝(－2)n－1， ∴{an}的通项公式为an＝2n－1，或an＝(－2)n－1． (2)记Sn为{an}的前n项和． 当a1＝1，q＝－2时，Sn＝＝， 由Sm＝63，得S