(教用word)第5章　5.3　5.3.1　第2课时　等比数列的性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

第2课时　等比数列的性质 学习任务目标 1．掌握等比数列的性质及其应用．(数学运算) 2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(数学运算、逻辑推理) (1)已知等比数列{an}中，a2＝2，a3＝，则公比q＝． (2)是等比数列4，4，2，…的第11项． 知识点一　等比中项 (1)前提：三个数x，G，y成等比数列． (2)结论：G叫做x，y的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝xy． [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)任何两个实数都有等比中项． (×) (2)若G是a与b的等比中项，则G＝． (×) (3)若a，G，b满足G＝ab，则a，G，b一定是等比数列． (×) 知识点二　等比数列的运算性质 1．在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq． ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap·aq＝a． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 2．若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列． 3．对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． [微训练] 1．在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　) A．　　B．　　C．　　D． D　解析：由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝． 2．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________． 1　解析：只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1． 等比数列的中项 1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　) A．±　　B．－　　C．　　D．± C　解析：在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝． 2．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________． ±4　解析：a4＝a1q3＝×23＝1， a8＝a1q7＝×27＝16， ∴a4与a8的等比中项为±＝±4． 3．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？ 解：由题意知a3是a1和a9的等比中项， ∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)， 得a1＝d，∴＝＝． 等比数列的性质 【例1】等比数列{an}的各项均为正数，且a4a5＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝(　　) A．7　　B．8　　C．9　　D．10 B　解析：根据题意，等比数列{an}的各项均为正数，且a4a5＝4， 则有a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝4， 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8 ＝log2(a1a2a3a4a5a6a7a8) ＝log244＝8． 【例2】在等比数列{an}中，若a2＋a3＋a4＋a5＝，a3·a4＝，则＋＋＋＝________． 6　解析：根据题意，等比数列{an}中， a3·a4＝，，则有a3·a4＝a2·a5＝， ＋＋＋＝＋ ＝(a2＋a3＋a4＋a5)＝×＝6． 【例3】已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为________(写出一个即可)． an＝3n－1(只要公比为3的数列即可) 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， ∵数列{3n－an}也是等比数列， ∴(32－a1q)2＝(3－a1)(33－q1q2)， 化简为：a1(q2－6q＋9)＝0，因为a1≠0，所以q＝3，不妨取a1＝1，则an＝3n－1． 1．正项等比数列{an}中，a＋2a6a8＋a＝64，且a3与a7的等差中项为2，则a1＝(　　) A．　　B．2　　C．　　D． C　解析：由题意，在正项等比数列{an}中，由a＋2a6a8＋a＝64， 可得a＋2a6a8＋a＝a＋2a5a9＋a＝(a5＋a9)2＝64， 即a5＋a9＝8，由a3与a7的等差中项为2，得a3＋a7＝2×2＝4，设等比数列{an}的公比为q，则a5＋a9＝q2(a3＋a7)＝4q2＝8， 则q＝或q＝－舍去， 所以a3＋a7＝a1q2＋a1q6＝4，解得a1＝． 2．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　　) A．　　B．　　C．－或－　　D．或 D　解析：∵a7a11＝a4a14＝6，a4＋a14＝5，∴a4和a14是方程x2－5x＋6＝0的两根，求得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，设等比数