(教用word)第5章　5.3　5.3.1　第1课时　等比数列的定义-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 学习任务目标 1．理解等比数列的定义．(数学抽象) 2．掌握等比数列的通项公式．(数学运算) 3．掌握等比数列的判定方法．(逻辑推理) 1．已知数列{an}中，a1＝，an－an＋1＝2anan＋1，则数列是________数列． 等差　解析：由已知得，＝2，－＝＝＝2，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． 2．在等差数列{an}中，已知a2，a5是一元二次方程x2－19x＋70＝0的两个根． (1)求a2，a5； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)因为x2－19x＋70＝0，所以x＝5或14，所以a2＝5，a5＝14或a2＝14，a5＝5． (2)设公差为d， 若a2＝5，a5＝14，得d＝＝3， 所以通项公式为an＝a2＋(n－2)d＝3n－1； 若a2＝14，a5＝5，则d＝＝－3， 所以通项公式为an＝a2＋(n－2)d＝－3n＋20． 故{an}的通项公式：an＝3n－1或an＝－3n＋20． 知识点一　等比数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)等比数列中不存在数值为0的项． (√) (2)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列． (×) (3)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． (√) (4)任何两个实数都有等比中项． (×) 知识点二　等比数列的通项公式 1．通项公式：一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么等比数列的通项公式为an＝a1qn－1． 2．第n项与第m项的关系为an＝amqn－m，变形为qn－m＝． 3．等比数列的函数特性 因为an＝a1qn－1＝×qn，所以如果记f (x)＝×qn，则可以看出an＝f (n)，而且： (1)当q＝1时，f (x)是常函数，此时数列{an}是常数列； (2)当时q≠1，f (x)是与y＝qn的乘积，此时，f (x)的增减性既与a1有关，也与q有关． [微训练] 1．已知等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则公比q＝(　　) A．－2　　B．2　　C．4　　D．－4 B　解析：由a1＝2，a4＝16，得q3＝8，所以q＝2． 2．在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝(　　) A．6　　　　B．3　　　　C．12　　　　D．8 A　解析：a10＝a6q4＝×9＝6． 等比数列的概念 1．下列数列为等比数列的是(　　) A．m，m2，m3，m4，… B．22，42，62，82，… C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D．，，，，… D　解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；≠，所以B不是等比数列． 2．下列数列是等比数列的有________． ①1，，，，，…； ②10，10，10，10，10，…； ③，，，，…； ④1，0，1，0，1，0，…； ⑤1，－4，16，－64，256，…． ②③⑤　解析：①不是等比数列．②是等比数列，公比为1．③是等比数列，公比为．④不是等比数列．⑤是等比数列，公比为－4． 等比数列的通项公式及应用 【例1】在等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则项数n为(　　) A．3　　B．4　　C．5　　D．6 B　解析：因为{an}是等比数列，所以an＝a1·qn－1，即＝×，整理得：＝，所以n－1＝3，所以n＝4． 【例2】在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an． 解：(1)由题得a6＝3·(－2)5＝－96． (2)由已知得a1q2＝20，a1q5＝160，所以q＝2，所以an＝a3qn－3＝20·2n－3＝5·2n－1． 1．各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，则a3＝(　　) A．2　　B．－2　　C． 　　D．－ A　解析：因为各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，所以a＝a1×a5＝4，所以a3＝2(负值舍去)． 2．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，则数列{an}的公比为(　　) A．　　B．－2　　 C．2 　　D．－ C　解析：数列{an}是等比数列，则an＝a1·qn－1(q为数列{an}的公比)，则a4＝a1·q3⇒16＝2·q3，解得q＝2． 等比数列的判定 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了