8　易错强化练(一)　等差数列-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

易错强化练(一)　等差数列 练易错 易错点1| 对等差数列的定义理解不透致误 [防范要诀] 使用等差数列的定义时容易出现以下错误： (1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项； (2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列； (3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差． [对点集训] 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列． 解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝．但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列． 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，且an>0．求数列{an}的通项公式． 解：因为Sn＝(an＋1)2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2， 所以a－a－2an－2an－1＝0， 所以(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0． 因为an>0，所以an－an－1＝2(n≥2)， 所以{an}为等差数列，公差为2． 当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋1)2， 所以a－2a1＋1＝0， 所以a1＝1，所以an＝2n－1． 易错点2| 裂项法求和 [防范要诀] 应用裂项法求数列的和时，常有两个易错点： (1)对通项公式变形不等价，例如＝·，注意系数； (2)在抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项的规律不清楚而导致解题失误． [对点集训] 3．数列{an}的通项公式是an＝，若数列{an}的前n项和为10，则项数为(　　) A．11　　B．99　　C．120　　D．121 C　解析：因为an＝＝－， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1． 令－1＝10，得n＝120． 4．已知等差数列{an}满足 a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn． (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：(1)由题意得 解得故an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1， Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n． (2)因为bn＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝． 练疑难 1．等差数列{an}满足a2＋a9＝a6，则S9＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 B　解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a9＝a6，得a1＋d＋a1＋8d＝a1＋5d，即a1＝－4d，则S9＝9a1＋d＝－36d＋36d＝0．故选B． 2．在等差数列{an}中，a1＝21，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　解析：根据题意知，Sn＝na1＋＝21n＋．因为当且仅当n＝8时Sn取得最大值，所以即 解得 所以d的取值范围为．故选C． 3．Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 D　解析：(方法一)因为Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2a1＋(2k＋1)d＝2＋(2k＋1)×2＝24，解得k＝5．故选D． (方法二)由题意可得(k＋2)×1＋×2－k×1－×2＝24，解得k＝5．故选D． 4．已知函数f (x)＝x2＋x，则数列(n∈N*)的前n项和为(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意得 ＝＝＝－， 所以数列(n∈N*)的前n项和为 1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝． 5．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a7＝5，S7＝21，则S10＝(　　) A．40 B．35 C．30 D．28 A　解析：设公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1．因为a7＝a1＋6d，所以d＝，所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40． 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋3(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}是等差数列 B．数列{an}是递增数列 C．a1，a5，a9成等差数列 D．S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列 D　解析：因为Sn＝n2＋n＋3(n∈N*)， 所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋3－＝n＋． 当n＝1时，a1＝S1＝，不满足上式． 所以数列{an}不是等差数列． a2＝<a1＝， 因此数列{an}不是递增数列． 2a5－a1－a9＝2×－－＝－3≠0，因此a1，a5，a9不成等差数列． S6－S3＝×(4＋5＋6)＋×3＝， S9－S6＝×(7＋8＋9)＋×3＝， S12－S9＝×(10＋11＋12)＋×3＝． 因为－－＝0， 所以S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列． 故选D． 7．已知等差数列