2　课时分层训练(二)　数列中的递推-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

课时分层训练(二)　数列中的递推 1．数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) C　解析：后一项是前一项的，所以an＋1＝an． 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a6的值为(　　) A． B． C．3 D．6 A　解析：因为a1＝1，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝＝．故选A． 3．已知数列{an}对任意m，n∈N*，满足am＋n＝am·an，且a3＝8，则a1＝(　　) A．2 B．1 C．±2 D． A　解析：令m＝n＝1，则a2＝a1·a1＝a． 令m＝1，n＝2，则a3＝a1·a2＝a＝8，所以a1＝2． 4．已知数列{an}中的第15项a15＝256，数列{bn}满足log2b1＋log2b2＋…＋log2b14＝7，且an＋1＝an·bn，则a1＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 C　解析：由log2b1＋log2b2＋…＋log2b14＝log2(b1·b2·…·b14)＝7，得b1·…·b14＝ 27．又an＋1＝an·bn，即bn＝，所以b1·b2·…·b14＝··…·＝＝＝＝27，故a1＝2． 5．(多选)在数列{an}中，若a1∈Z，an＋1＝an＋log2(n∈N*)，则使得an为整数的n的取值可能是(　　) A．32 B．33 C．1 024 D．1 025 AC　解析：因为an＋1＝an＋log2＝an＋log2，所以an＝an－1＋log2，所以an＝an－2＋log2＋log2，…，所以an＝a1＋log2＋log2＋…＋log2＋log2＝a1＋log2＝a1＋log2＝a1－log2n．因为a1∈Z，所以当log2n为整数时，an为整数．由各选项知，AC选项符合要求．故选AC． 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－8 D　解析：a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝23－24＝－8．故选D． 7．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n．若{an}的第k项满足3<ak<7，则k可能为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 BC　解析：当n＝1时，S1＝－4，即a1＝－4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－5n)－[(n－1)2－5(n－1)]＝2n－6． 令3<2k－6<7，解得<k<，所以k＝5，6．故选BC． 8．在数列{an}中，Sn是其前n项和．若Sn＝n2＋1，n∈N*，则an＝____________． 　解析：当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 所以an＝ 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝________． 16　解析：因为Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，a1＝1， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1．所以an＝2an－1． 所以a5＝2a4＝22·a3＝23·a2＝24·a1＝16． 1．已知数列{an}中，前n项和为Sn，点P(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2＋x的图象上，则an等于(　　) A．2n B．2n＋1 C．n2＋n D．2n＋3 A　解析：点P(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2＋x的图象上，则Sn＝n2＋n． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n； 当n＝1时，a1＝S1＝2，满足an＝2n． 故选A． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2(n∈N*)，则an等于(　　) A．n　　B．n2　　C．2n＋1　　D．2n－1 D　解析：因为Sn＝n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1． 当n＝1时，S1＝a1＝1适合上式，所以an＝2n－1． 3．已知数列{an}满足a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于(　　) A．　　B．　　C．－　　D． C　解析：a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－． 4．(多选)若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列{an}中的项的值可能为(　　) A．　　B．　　C．　　D． ABC　解析：数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，所以数列{an}是周期为4的周期数列，故所有可能取值为，，，．故选ABC． 5．在数列{an}中，a4＝5，a6＝29，且an＋1＝pan＋3(p为常数，n∈N*)，求a8． 解：a6＝p