第07讲 中六模块-圆的证明与计算思路-【中考特训营】2023年中考数学复习讲与练（安徽专用）

中六模块-圆的证明与计算思路 技巧： 1、 圆中常见辅助线做法 ①遇垂径定理，连接圆心到弦的端点，构造直角三角形 ②遇过直径端点的弦，连接直径和弦的另一个端点，构造直角三角形 ③遇切线，连接圆心到切点，构造直角 2、圆中常见结论和模型 圆中遇弧中点时，可得结论： ①角平分线、角相等（等弧所对圆周角相等） ②垂径定理 圆中几何模型： 在题目条件中同时存在角平分线（弧中点）、平行线、等腰三角形（一般为圆半径和圆心构成的）其中两个条件时，第三个必然可证 3、圆证明题剥离法的运用:在利用圆的性质标注所有数据和条件后，将圆去除，看剩余几何图形，可将题目简单化。 （注：圆中涉及的几何图形性质比较多，常见于：等腰三角形、直角三角形、角平分线、平行四边形、矩形、菱形等） 例1、（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 解析（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30∴CD=2⋅ OC=2∴ ∴ （2）证明：∵DC与⊙O相切∴OCCD即∠ACD+∠OCA=90 ∵OC= OA∴∠OCA=∠OAC∵∠ACD=∠ACE∴∠OAC+∠ACE=90∴∠AEC=90∴CEAB 例2、（2018安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5. (1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 解析：(1)尺规作图如解图所示． (2)如解图，连接OE交BC于点M，连接OC，CE， ∵∠BAE＝∠CAE，∴＝， ∴OE⊥BC，∴EM＝3， 在Rt△OMC中，OM＝OE－EM＝5－3＝2，OC＝5， ∴MC2＝OC2－OM2＝25－4＝21. 在Rt△EMC中，CE2＝EM2＋MC2＝9＋21＝30. ∴弦CE的长为. 1．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考三模）2022年1月26日，合肥古逍遥津公园摩天轮“庐州之眼”正式开放，对外营业．该摩天轮高约90米（最高点到地面的距离），点是摩天轮的圆心，是其垂直于地面的直径，在地面的处测得摩天轮最高点的仰角为45°，测得圆心的仰角为28.3°，求摩天轮所在圆的半径．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 2．（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 3．（2021·安徽·统考中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 4．（2020·安徽·统考中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 5．（2019·安徽·统考中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 6（2015·安徽·统考中考真题）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 7．（2022·安徽芜湖·统考模拟预测）如图，为半圆的圆心，、为半圆上的两点，连接、、，，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，半径，求的长 8．（2022·安徽·校联考三模）如图1，以的斜边为直径作，交的平分线于点，过点作的切线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)如图2，的平分线依次交于点，交于点，交于点，连接，若，，求的长． 9．（2022·安徽黄山·统考二模）如图，以BC为底的等腰ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D． (1)求证：AD是⊙O的切线． (2)若四边形ADBC是平行四边形，且BC＝12，求⊙O的半径． 10．（2022·安