6.3 二项式定理（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3二项式定理 第6章 计数原理 教师 xxx 人教A版（2019） 选择性必修第三册 今天是星期四， 7天后的这一天是星期几呢？ 15天后的这一天呢？ 计算方法：用天数除以7，看余数是多少，再用 4加余数来推算. 30天后的这一天呢？ 星期四 星期五 星期六 问题引入 ↓ ↓ ↓ 若今天是星期四， 天后的这一天是星期几呢？ 除以7的余数是多少？ 展开后的表达式是什么样的？ 问题引入 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。 (a+b)2==a2+2ab+b2 分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到， 即(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 因此以每个(a+b)中的b作为研究对象： 每个都不取b的情况有 种,则a2前的系数为 恰有1个取b的情况有 种，则ab前的系数为 恰有2个取b的情况有 种，则b2前的系数为 . ； ； 探究新知 使用上述方法展开(a+b)3 (a+b)3==a3+3a2b+3ab2+b3 分析：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) ① 项： a3 a2b ab2 b3 ② 系数： 探究新知 使用上述方法展开(a+b)n (a+b)n= 分析：(a+b)n = (a+b)(a+b)...(a+b) ① 项： an an-1b ... an-kbk ... bn ② 系数： ... ... 探究新知 一、二项式定理 公式（a+b）n＝an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn，n∈N*叫做二项式定理. 右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，其中各项的系数（k＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 式中的an-kbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：Tk+1＝an-kbk. 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式： （1+x）n＝+x+x2+…+xk+…+xn. 探究新知 【提示】1.二项式定理中二项展开式的特点 （1）项数：它有n+1项； （2）次数：各项的次数都等于二项式的次数n； （3）顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n； （4）系数：二项展开式中，二项式系数为（k＝0，1，2，…，n），这是一组仅与二项式的次数n有关的n+1个组合数，而与a，b无关. 2.对通项的理解 （1）它是（a+b）n展开式的第k+1项，这里k＝0，1，2，…，n； （2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数或式，只要具备二项式的形式，就可以用二项式定理写出展开式及其通项； （3）展开式是对（a+b）n这个标准形式而言的，还可以对式子进行变形，例如，对于（b-a）n，可转化为（-a+b）n，我们有Tk+1＝（-1）n-kan-kbk. 探究新知 常考题型 一、二项展开式及其简单应用 探究新知 ◆求二项展开式的常见思路 1.简单的二项式问题，直接运用二项式定理展开. 2.较复杂的二项式问题，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便. 3.含负号的二项展开式形如（a-b）n的展开式中会出现正、负间隔的情况. 训练题 （2x+1）5-5（2x+1）4+10（2x+1）3-10（2x+1）2+5（2x+1）-1. 探究新知 二、求二项展开式特定项或系数问题 【答案】D 探究新知  ◆求展开式中特定项的方法 1.依据条件写出第r+1项； 2. 根据特定项的指数特征，列出关于r的方程； 3.求出r值； 4.代回第r+1项即可. 【注意】 1.Tr+1是第r+1项； 2.若求第m项，则令k+1＝m，直接代入通项求解. 探究新知 B 14 探究新知 【答案】B 探究新知 C B 探究新知 3.求项的系数 例4 ［2020·山东临沂高三联考］（a+2b-3c）4的展开式中abc2的系数为　　　　. 【答案】216 探究新知 ◆解多项式的展开式问题的两种思路 1. 转化为二项式求解 （1）求多项式（a1+a2+…+an）n的展开式，可以把其中几项结合，转化为二项式，再利用二项式定理展开. （2）常见类型 ①完全平方型：如（x2-2x+1）n＝（x-1）2n； ②因式分解型：如（x2-2x-3）n＝（x-3）n· （x+1）n； ③结合律型：如（a+2b-3c）4＝［（a+2b）-3c］