第2讲 余弦定理、正弦定理 讲义-2023届高考数学二轮复习三角常考问题

第2讲 余弦定理、正弦定理 典型例题 【例1】在中,设角所对的边分别为.若边上的高为,则的最大值是（） A.2 B. C. D.4 【例2】在△ABC中，已知，则的最大值是________. 【例3】如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC有且只有一个，那么k的取值范围是________. 【例4】在△ABC中，已知，则△ABC的形状是________. 【例5】在锐角三角形ABC中，已知，求的最小值. 【例6】在△ABC中，设角所对的边分别为，已知. （1）若△ABC的面积等于，求. （2）若，且，求△ABC的面积. 【例7】在△ABC中，设角，所对的边分别为.已知，且. （1）当时，求的值. （2）若角B为锐角，求p的取值范围. 【例8】在锐角三角形ABC中，设角所对的边分别为，且 . （1）求角B. （2）求的取值范围. 【例9】在△ABC中，设角所对的边分别为，已知 . （1）求角B的大小. （2）若，求b的取值范围. 【例10】满足条件的△ABC面积的最大值是________. 【例11】如图，在平面直角坐标系xOy中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点.试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值. 【例12】如图，当测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=20m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB=________. 【例13】已知△ABC的三个内角满足，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 余弦定理、正弦定理 典型例题 【例1】在中,设角所对的边分别为.若边上的高为,则的最大值是（） A.2 B. C. D.4 【答案】D 【解析】由三角形面积公式得,即. 所以. 【例2】在△ABC中，已知，则的最大值是________. 【答案】 【解析】因为,即,且,角为钝角, 所以, 即,角为锐角. 故 【例3】如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC有且只有一个，那么k的取值范围是________. 【答案】或 【解析】解法1(图象法)由正弦定理得,即. 由题意知,满足条件的有一个,则或, 即或 解法2(几何法) 当满足条件的有两个时,,或,由此得到的取值范围. 如图,,当或时,以为半径的圆弧与切于点,或与交于点.由于只有一个,可得或. 【例4】在△ABC中，已知，则△ABC的形状是________. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】由得 所以或,所以或, 故是等腰三角形或直角三角形. 【例5】在锐角三角形ABC中，已知，求的最小值. 【解析】在中,有,于是, 故, 等号两边同除以, 可得, . 于是. 【例6】在△ABC中，设角所对的边分别为，已知. （1）若△ABC的面积等于，求. （2）若，且，求△ABC的面积. 【解析】(1)因为,所以,即. 又,即,解得. (2)因为, 即, 即, 所以或, 即或. 又，取， 则由得. 【例7】在△ABC中，设角，所对的边分别为.已知，且. （1）当时，求的值. （2）若角B为锐角，求p的取值范围. 【解析】(1)由已知条件和正弦定理得 可知 为方程 的两个根, 进而求得或. (2)由余弦定理得 ,即. 因为,所以. 由知,是正数. 故. 【例8】在锐角三角形ABC中，设角所对的边分别为，且 . （1）求角B. （2）求的取值范围. 【解析】(1)由得,所以. 又为锐角三角形,故. (2)结合(1)的结论有 . 由得,则 故的取值范围是. 【例9】在△ABC中，设角所对的边分别为，已知 . （1）求角B的大小. （2）若，求b的取值范围. 【解析】(1)因为, 所以, , , 又,所以. 在中,. (2)解法1：因为,所以. 又,所以. 解法2：利用正弦定理可求得 【例10】满足条件的△ABC面积的最大值是________. 【解析】解法1：设,则. 设,则 消去得, 故. 解法2：(阿氏圆法)建立直角坐标系,设,, 由得, 即,即, 所以. 【例11】如图，在平面直角坐标系xOy中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点.试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值. 【解析】设点的坐标为,点的坐标为,再设所求点的坐标为, 则有 当时,取得最大值. 因为在上是增函数,所以当时,取最大值. 故所求点的坐标为. 【例12】如图，当测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=75