第2讲 定值问题 讲义-2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题

第2讲 定值问题 典型例题 【例1】已知椭圆与直线，过椭圆上 的一点作的平行线，分别交于点.若为定值，则椭圆的离心率 为 ． 【例2】在平面直角坐标系中，已知点，点满足 .记点的轨迹为. (1) 求轨迹的方程； (2) 设点在直线上，过的两条直线分别交轨迹于两点和两点，且 ，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【例3】已知椭圆的左、右顶点分别为，点 在该椭圆上，且该椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合. (1) 求椭圆的方程； (2) 如图，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率为. 求证: ． 在下列三个结论中选择一个填写在横线处进行证明: ① 直线与的交点在定直线上；② ；③ 【例4】如图，已知椭圆，点是其下顶点，过点的直线交椭圆 于另一点(点在轴下方)，且线段的中点在直线上. (1) 求直线的方程； (2) 若为椭圆上异于点的动点，且直线分别交直线于点， 证明:为定值. 【例5】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左、右顶点),面积的最大值为. (1)求椭圆的方程; (2)设过点的直线的斜率存在且不为0与椭圆相交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,问:是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 【例6】已知椭圆的离心率为,且过点. (1)求椭圆的方程; (2)点在椭圆上,且为垂足,证明:存在定点,使得为定值. 【例7】已知椭圆经过与两点,过原点的直线与椭圆交于两点,椭圆上一点满足. (1)求椭圆的方程; (2)求证:为定值. 【例8】已知椭圆的离心率为,且过点. (1)求椭圆的方程; (2)由椭圆外一点作椭圆的两条切线,切点分别为,记的斜率分别为,且.(1)求点的轨迹方程; (2)求证:的面积为定值. 【例9】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,焦距为2,其中上、下顶点分别为.直线与轴交于点是椭圆上的动点(异于点).直线分别与直线交于点,连结交椭圆于点.(1)求椭圆的标准方程; （2）设的面积为的面积为,问:是否为定值?并说明理由. 【例10】已知椭圆的右焦点到直线的距离为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,过点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,交抛物线于两点,且. (1)求椭圆及抛物线的方程; (2)若过点且斜率为的直线交椭圆于两点,交抛物线于两点,如图所示,请问:是否存在实常数,使为常数?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 定值问题 典型例题 【例1】已知椭圆与直线，过椭圆上 的一点作的平行线，分别交于点.若为定值，则椭圆的离心率 为 ． 【答案】 【解析】解法 当点 时, , 由 解得点 . 同理点 . 所以 . 当点 时, , 由 解得点 . 同理点 . 所以 . 因为 为定值, 所以 , 此时 解法 2： 设点 , 则 , 由 解得点 . 同理点 . 所以 . 若 为定值,则 , 所以 . 【例2】在平面直角坐标系中，已知点，点满足 .记点的轨迹为. (1) 求轨迹的方程； (2) 设点在直线上，过的两条直线分别交轨迹于两点和两点，且 ，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】(1) ; (2) 0 . 【解析】 (1) 由定义可知点 的轨迹 是双曲线的 右支, 其中 , 所以 . 从而轨迹 的方程为 . (2) 设点 , 设直线 的斜率为 , 则 . 代入 , 整理得 设点 ,,则 ，. , 同理 (设直线 的斜率为 ),. 所以 , 所以 . 因为 , 所以 . 所以直线 的斜率与直线 的斜率之和为 0 . 【例3】已知椭圆的左、右顶点分别为，点 在该椭圆上，且该椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合. (1) 求椭圆的方程； (2) 如图，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率为. 求证: ． 在下列三个结论中选择一个填写在横线处进行证明: ① 直线与的交点在定直线上；② ；③ 【答案】(1) ; (2) 见【解析】. 【解析】(1) 方法 1 抛物线 的焦点坐标为 , 故点 . 所以 , 所以 . 所以 ,, 所以椭圆 的方程为 . 方法 2 抛物线 的焦点坐标为 , 故 点 . 因为点 在该椭圆上, 所以 , 解得 ,. 所以椭圆 的方程为 . (2) ①由题意, 可设直线 的方程为 , 点 ,. 所以 ,, 又直线 的方程为 , 直线 的方程为 . 记直线 与直线 的交点为 , 则 , 故 所以直线 与 的交点在定直线 上, 即证. (2) 由题意, 可设直线 的方程为 , 点 ,. 所以 ,,, 所以