第3讲 定点与定线 讲义-2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题

第3讲 定点与定线 典型例题 【例1】直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点记为,且的面积为2,则椭圆恒过定点 A. B. C. D. 【例2】已知椭圆的右焦点为,且经过点. (1)求椭圆的方程; (2)设为原点,直线与椭圆交于两个不同的点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,若,求证:直线经过定点. 【例3】曲线,直线关于直线对称的直线为,直线分别与曲线交于点和点,记直线的斜率为. (1)求证:;(2)当变化时,试问:直线是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由. 【例4】已知椭圆,过左焦点的动直线交椭圆于两点,为直线上一定点(不是与轴的交点),直线的斜率分别为. (1)是否恒为等差数列?若是,给出证明;若不是,请说明理由; (2)对任意给定的点,是否存在一条过点的直线,使得为等比数列?请说明理由. 【例5】已知椭圆的右焦点分别为椭圆的左、右、上、下顶点,且四边形的内切圆的方程为. (1)求椭圆的方程; (2)若是直线上的动点,直线与椭圆的另一个交点分别是,求证:直线经过一定点. 【例6】已知椭圆的离心率为,并且直线是抛物线的一条切线. (1)求椭圆的方程; (2)过点的动直线交椭圆于两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过定点?若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由. 【例7】已知椭圆的方程为,斜率为的直线与椭圆交于两点,点在直线的左上方. (1)若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,求此时直线的方程; (2)求证:的内切圆的圆心在定直线上. 【例8】已知抛物线过点为其焦点,过点且不垂直于轴的直线交抛物线于两点,动点满足的垂心为原点. (1)求抛物线的方程; (2)求证:动点在定直线上,并求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 定点与定线 典型例题 【例1】直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点记为,且的面积为2,则椭圆恒过定点 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设点 , 则 得 . 所以 ,代入得 . 【例2】已知椭圆的右焦点为,且经过点. (1)求椭圆的方程; (2)设为原点,直线与椭圆交于两个不同的点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,若,求证:直线经过定点. 【答案】 (1) (2) 见【解析】. 【解析】(1) 椭圆 的右焦点为 , 且经过点 , 可得 , 则椭圆的方程为 . (2) 证明记点 , 设直线 . 得 , ,. 的方程为 , 令 , 可得 , 即点 ; 的方程为 , 令 , 可得 , 即点 . , 即 , 即有 , 由 , 解得 , 满足 , 即有直线 方程为 恒过原点 . 【例3】曲线,直线关于直线对称的直线为,直线分别与曲线交于点和点,记直线的斜率为. (1)求证:;(2)当变化时,试问:直线是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由. 【答案】(1) 见【解析】; (2) 直线 过定点 . 【解析】(1) 证明设直线 上任意一点 关 于直线 的对称点为 , 直线 与直线 的交点为 ,所以 ,,, 由 得 由 得 (2) 由(1)(2)两式得 . (2) 设点 . 可得 或 , 即点 . 由 , 可将 换为 , 可得点 ,, 即直线 , 可得 , 即为 则当 变化时, 直线 过定点 . 【例4】已知椭圆,过左焦点的动直线交椭圆于两点,为直线上一定点(不是与轴的交点),直线的斜率分别为. (1)是否恒为等差数列?若是,给出证明;若不是,请说明理由; (2)对任意给定的点,是否存在一条过点的直线,使得为等比数列?请说明理由. 【答案】(1)见【解析】; (2) 见【解析】. 【解析】(1) 椭圆 的左焦点为 , 设点 , 若直线 的斜率为 0 , 易得 分别为椭圆的 左、右顶点, 即点 , 则 , 此时 , 即满足 是等差数列; 若直线 的斜率不为 0 , 设点 , , 直线 的方程为 . 得 , ,, 所以 , 又 ， 所以 . 因为 , 所以 . 综上, 不是恒为等差数列. (2) 由 (1) 可得, 当直线 的斜率为 0 时, , 因为 , 所以 ; 当直线 的斜率不为 0 时, 又 , 若 为等比数列, 则 , 即 , 则 , 整理得 , 即 , 则 , 即对任意的 ), 都有 唯一的 与之对应, 即存在对应的直线 满足题意; 所以对任意给定的点 , 都存在一条过点 的直线 , 使得 为等比数列. 【例5】已知椭圆的右焦点分别为椭圆的左、右、上、下顶点,且四边形的内切圆的方程为. (1)求椭圆的