第4讲 面积问题 讲义-2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题

第4讲 面积问题 典型例题 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为,短轴长为,点在椭圆上,且的周长为8. (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆上的动点作的切线,过原点作于点,求的面积的最大值. 【例2】已知是抛物线的焦点,直线与抛物线相切于点,连结交抛物线于另一点,过点作的垂线交抛物线于另一点. (1)若,求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【例3】已知抛物线是其焦点,是抛物线上异于原点的点,过点作抛物线的切线与的准线相交于点,点满足. (1)求证:; (2)设直线与抛物线相交于两点,求面积的取值范围. 【例4】如图,已知椭圆经过点和,过原点的一条直线交椭圆于两点(点在第一象限),椭圆上点满足,连结,分别与轴、轴交于点的重心在直线的左侧. (1)求椭圆的标准方程; (2)记面积分别为,求的取值范围. 【例5】已知椭圆,抛物线,点,斜率为的直线交拋物线于两点,且,经过点的斜率为的直线与椭圆相交于两点. (1)若抛物线的准线经过点,求抛物线的标准方程和焦点坐标; （2）是否存在,使得四边形的面积取得最大值?若存在,请求出这个最大值及的值;若不存在,请说明理由. 【例6】如图,过点和点的两条平行线和分别交拋物线于和(其中点在轴的上方),交轴于点. (1)求证:点的纵坐标的乘积为定值;(2)分别记和的面积为和,当时,求直线的方程. 【例7】已知抛物线,点在抛物线上且在第一象限,以为切点作抛物线的切线,交轴于点,过点作垂直于的直线,交抛物线于两点,其中点在第一象限,设与轴交于点. (1)若点的横坐标为2,求切线的方程; (2)连结,记的面积分别为,求。的最小值. 【例8】已知点,直线与抛物线交于两个不同的点,直线与抛物线相交的另一点分别为,连结,点关于直线的对称点为,连结. (1)求证:; (2)若的面积,求实数的取值范围. 【例9】已知抛物线,圆,直线与拋物线相切于点,且与圆相切于点. (1)当时,求直线的方程与抛物线的方程; (2)设为抛物线的焦点,的面积分别为,当取得最大值时,求实数的值. 【例10】已知椭圆的上、下顶点分别为,过点斜率为的直线与椭圆自上而下交于点. (1)证明:直线与的交点在定直线上; (2)记和的面积分别为和,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 面积问题 典型例题 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为,短轴长为,点在椭圆上,且的周长为8. (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆上的动点作的切线,过原点作于点,求的面积的最大值. 【答案】(1) ; (2) . 【解析】(1) 由 可知 三点共 线, 且 轴, 由 的周长为 8 得 , 所以 , 且 所以椭圆 的标准方程为 . (2) 显然直线 的斜率存在且不为 0 , 设直线 的 方程为 . 得 , 且 , 所以 ， 所以 . 得 , 所以 , . 所以 当且仅当 时取得等号, 所以 的 面积的最大值为 . 【例2】已知是抛物线的焦点,直线与抛物线相切于点,连结交抛物线于另一点,过点作的垂线交抛物线于另一点. (1)若,求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 16 . 【解析】(1)方法 由 得点 . 设直 线 的方程为 . 因为直线 与抛物线相切, 所以 , 所以直线 的方程为 . 方法 2 由 得点 , 所以 的方程 为 , 即 . (2)方法 1 设切线 的方程为 , 点 ,. 由 三点共线 知, , 所以点 . 因为直线 与抛物线相切, 所以 , 所以直线 的方程为 , 即 , 所以点 到直线 的距离为 . 得 , 得 思路一弦长公式 所以 当且仅当 即 时取得等号, 此时 面积的最小值为 16 . 思路二点差法加弦长公式 因为 , 所以 . 故 . 方法 2 光学性质 由抛物线的光学性质知, 是过点 的法线,于是过点 作 轴, 并取 , 则 . 为此设点 , 切线 , 所以 . 所以 . 因为 , 所以 . 由焦点弦公式得 的高 . 所以 , 当且仅当 即 时取得等号, 此时 面积的最小值为 16 . 注抛物线中运用点差法, 既可构造两点连线的 斜率, 也可运用两点的斜率求点的坐标, 如方法 1 中 求点 的纵坐标. 对于抛物线的光学性质, 还有如下 定理 定理抛物线的焦半径 与过点 且平行于 轴的直线的夹角被抛物线在点 处法线平分. 如图, 抛物线 的方程为 , 直线 是过 抛物线上一点 的切线, 交 轴于点 , , 反射线 与 所成角记为 . 求证. 证明如图, 抛物线 的方 程为 , 点 在该 抛物线上, 则过点 的切线为 , 切线 与 轴 交于点 , 焦点为 (同位角), 因