第5讲 椭圆与圆 讲义-2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题

第5讲 椭圆与圆 典型例题 【例1】已知椭圆的离心率的取值范围为,直线交椭圆于两点,是坐标原点且,则椭圆长轴长的取值范围是 A. B. C. D. 【例2】若是椭圆上的三点,求面积的最大值. 设为椭圆上一点,为椭圆的左、右焦点,为的内心.若内切圆半径为1,求的长度. 【例3】已知点是第一象限的点,且满足.若是的内心,是的重心,记与的面积分别为,则 A.B.C.D.与大小不确定 【例4】已知椭圆)的左、右焦点分别是是椭圆在第一象限的一个动点,圆与延长线以及线段相切,且为其中一个切点,则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【例5】已知椭圆的下顶点为,若直线与椭圆交于不同的两点,则当时,外心的横坐标最大. 【例6】已知椭圆的离心率是,若以点为圆心,且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,此时椭圆的方程是 . 【例7】过点、斜率为正的直线交椭圆于两点.是椭圆上相异的两点,满足分别平分.则外接圆半径的最小值为 A. B. C. D. 【例8】已知椭圆. (1)若过点的直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围; (2)若存在以点为圆心的圆与椭圆有四个公共点,求实数的取值范围. 【例9】如图,已知是焦距为4的椭圆上的三点,是长轴的一个端点,过椭圆的中心,且. (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆上异于顶点的任意一点作圆的两条切线,切点分别为,,若直线分别与轴、轴交于点,当的面积最小时,求与的面积之比. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 椭圆与圆 典型例题 【例1】已知椭圆的离心率的取值范围为,直线交椭圆于两点,是坐标原点且,则椭圆长轴长的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解法1 ：设点 . 由 得 , 即 又 得 ,所以 . 代人 得 ,所以 , 所以 . 解法 2 ：椭圆的中心 到直线 的距离 为 , 则 . , 所以 ,所以 . 【例2】若是椭圆上的三点,求面积的最大值. 设为椭圆上一点,为椭圆的左、右焦点,为的内心.若内切圆半径为1,求的长度. 【答案】 【解析】解法 1 ：由等面积法可得 .记. , 因此 由此可 得 ,因此 . 解法 2： 如图, 记 , 由 , . 所以 ,所以 ,而内切圆半径为 , 所以 . 【例3】已知点是第一象限的点,且满足.若是的内心,是的重心,记与的面积分别为,则 A.B.C.D.与大小不确定 【答案】 B 【解析】 由題意得点的轨迹方程为,其中 . 如图,设 的面积为 .因为 为重心, 所以 . 设 的内切圆半径为 , 则 , 所以 ,所以 . 【例4】已知椭圆)的左、右焦点分别是是椭圆在第一象限的一个动点,圆与延长线以及线段相切,且为其中一个切点,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 解法 如图,设另外两个切点分别为 .连 结 , , 则易知 .在 中, , 即 .在 中, 因为 , 所以 , 所以 , 所以 . 解法 2： 由切线长定理得 .因为 . 所以 , 得 , 所以 【例5】已知椭圆的下顶点为,若直线与椭圆交于不同的两点,则当时,外心的横坐标最大. 【答案】 【解析】 由已知可得点 . 设点 , 则 外心在 的垂直 平分线上,即直线 上. 或 .所以 的中点坐标为 .则 的垂直平分线方程为 , 把 代人上式,得. 当 的外心的横坐标 取得最大值 时,必有 , 故 ,当 时,函数 取得极大值, 亦为最大值. 【例6】已知椭圆的离心率是,若以点为圆心,且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,此时椭圆的方程是 . 【答案】 【解析】 由 得 , 即 .则椭圆 的方程为 .设 是椭圆上任一点, 依题意, 的最 大值为 ,则 .若 , 则 时,.所以,此时椭圆方程为 ;若 , 则 时, 所以 , 不成立.综上可得, 椭圆方程为 . 【例7】过点、斜率为正的直线交椭圆于两点.是椭圆上相异的两点,满足分别平分.则外接圆半径的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解法 1 先固定直线,则为定值. 故点在一个阿波罗尼斯圆上,且的外接 圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为,先考虑 的阿波罗尼斯圆的情况,的延长线与圆交于点即为该圆 的直径.所以.同理, 当时, 有 . 综上, .当直线无斜率时, 与椭圆的交点纵坐标为 则 当直线斜率存在时,设直线的方程为, 即 . 得 , 设点 .所以 . . 设 , 则 . 当 即 时, , 故 , 又 , 可得外接圆半径的 最小值为 . 解法 2 如图, 设,的外角平分线交于点, 则 , 所以 四点共圆,线段为 直径 .设半径为 .由角平分线定理得 .由 外角平分线定 理得 ,