第6讲 巧用同构 讲义-2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题

第6讲 巧用同构 典型例题 【例1】设为抛物线外一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为. (1)若点坐标为,求直线的方程; (2)若为圆上的点,记两切线的斜率分别为,求的取值范围. 【例2】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,它的一个顶点为,离心率为 (1)求椭圆的方程; (2)过右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,求的值. 【例3】已知抛物线与直线. (1)求抛物线上的点到直线距离的最小值; (2)设点是直线上的动点,是定点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,求证:三点共线;并当时,求点的坐标. 【例4】已知抛物线上的动点,点在射线上,满足的中点在抛物线上. (1)若直线的斜率为1,求点的坐标; (2)若射线上存在不同于点的另一点,使得的中点也在抛物线上,求的最大值. 【例5】已知抛物线,圆的圆心为点. (1)求点到抛物线的准线的距离; （2）已知是抛物线上一点(异于原点),过点作圆的两条切线,交抛物线于两点,若过两点的直线垂直于,求直线的方程. 【例6】已知是椭圆外一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别为. (1)求证:切线的方程是; (2)设为抛物线上的动点,求面积的最小值. 【例7】如图,已知抛物线,设直线经过点,且与抛物线交于两点,抛物线在两点处的切线交于点,直线分别与轴交于两点. (1)求点的轨迹方程; (2)当点不在上时,记的面积为的面积为,求的最小值. 【例8】已知拋物线,椭圆为椭圆上的一个动点,拋物线的准线与椭圆相交所得的弦长为.直线与拋物线交于两点,线段分别与拋物线交于点,恰好满足. (1)求椭圆的标准方程: (2)求以为直径的圆面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 巧用同构 典型例题 【例1】设为抛物线外一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为. (1)若点坐标为,求直线的方程; (2)若为圆上的点,记两切线的斜率分别为,求的取值范围. 【答案】 (1) . 【解析】 (1) 设直线方程为,直线方程为 . 因为 与抛物线相切, 所以 . 取 ,则, 即点.同理可得点. 所以. (2) 设点 ,则直线方程为,直线方程为 . 因为直线与抛物线相切,所以.同理可 得 .所以 是方程 的两 个根，所以 .则 .又因为 , 则 ,所以 【例2】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,它的一个顶点为,离心率为 (1)求椭圆的方程; (2)过右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,求的值. 【答案】 (1) . 【解析】 (1).因为 ,解得 , 所以椭圆的方程为 . (2) 由(1)得点.设直线,可得点.设点 .可得 .由 可得 因为点 在椭圆上,所以 , 将(1)式代人可得 , 得 , 所以 .对于 , .同理可得 .所以 为方程 的两个 不同桹，所以 . 【例3】已知抛物线与直线. (1)求抛物线上的点到直线距离的最小值; (2)设点是直线上的动点,是定点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,求证:三点共线;并当时,求点的坐标. 【答案】 (1) ； (2) 见【解析】.【解析】 (1)方法1,设抛物线斜率为 的切线的切点为,因为 ,所以 ,切线方程为 .抛物线上的点到 直线的距离的最小值, 即两条平行线间的距离,最小值为 . 方法2设抛物线上点的坐标为,则 时取得等号),抛物线上的点到直线的 距离最小值为. (2) 设点 , 则直线 的方 程为 , 直线 的方程为 .因为两条直线都过点 , 所以 .又 , 所以直线 过点 , 即证..所以 为方程 的两个根,所以 . 又因为 , 所以 . . 解得 或 2 , 所以点 或 . 【例4】已知抛物线上的动点,点在射线上,满足的中点在抛物线上. (1)若直线的斜率为1,求点的坐标; (2)若射线上存在不同于点的另一点,使得的中点也在抛物线上,求的最大值. 【答案】 (1) 或 ; (2) . 【解析】 (1) 设直线 的方程为 . 得点 .设点 . , . 又 , 解得 ,或 . 经检验, 都是方程的解,所以点 或 , ). (2) 设点 ,则由 的中点 在抛物线上,所以, 整理得-16). 同理 . 所以 是方程 的两个不相等的非负根, 所以 , 所以 .所以 , 当且仅当 时取得等号.所以 的最大值为 . 【例5】已知抛物线,圆的圆心为点. (1)求点到抛物线的准线的距离; （2）已知是抛物线上一点(异于原点),过点作圆的两条切线,交抛物线于两点,若过两点的直线垂直于,求直线的方程. 【答案】 (1) (2) . 【解析】 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为,所以圆心 到准线的 距离是 (2)方法 1 设点 ,, 则由题意得 . 设过点的圆 的切线方程