第7讲 设点与设线 讲义-2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题

第7讲 设点与设线 典型例题 【例1】已知面积为16的等腰内接于抛物线为坐标原点,为抛物线的焦点,点.若是抛物线上的动点,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【例2】已知为抛物线的焦点,过点作斜率为的直线交抛物线于两点,延长交抛物线于两点,直线的斜率为.若点,则_______. 【例3】设点在椭圆上,点在直线上,则的最小值是_______. 【例4】已知抛物线上一点到其焦点的距离为. (1)求与的值; （2）设抛物线上点的横坐标为,过点的直线交抛物线于另一点,交轴于点,过点作的垂线交抛物线于另一点,若是抛物线的切线,求的最小值. 【例5】已知圆,椭圆.若直线与椭圆交于两点,与圆相切于点,且为的中点,则这样的直线有（ ） A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 【例6】如图,已知抛物线,过点作斜率为的直线交抛物线于两点,其中点在第一象限,过点作抛物线的切线与轴相交于点,直线交抛物线于另一点,线段交轴于点,记的面积分别为. (1)若,求; (2)求的最小值. 【例7】如图,设点,已知是抛物线的焦点,直线与抛物线交于两点,点(不同于原点)在抛物线上,不平行于轴,且与抛物线有且只有一个公共点.当时,. (1)求的值; (2)若分别与轴交于点,设和的面积分别为,,求的最大值. 【例8】已知椭圆的离心率为,点是椭圆的一个顶点.过抛物线上一点,作抛物线的切线与椭圆交于两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)若,求切线的方程. 【例9】抛物线上任取两点.已知的垂直平分线分别交轴、轴于点. (1)若的中点坐标为,求直线的斜率; (2)若的中点恰好在拋物线上,且,求直线的斜率. 【例10】如图,已知抛物线,过点的直线的斜率为,与抛物线交于两点. (1)求斜率的取值范围; (2)直线与轴交于点,过点且斜率为的直线与拋物线交于两点,设直线与直线的交点的横坐标为,是否存在这样的,使?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 设点与设线 典型例题 【例1】已知面积为16的等腰内接于抛物线为坐标原点,为抛物线的焦点,点.若是抛物线上的动点,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 设等腰 的直角边,所以,所以. 故点 , 所以 . 设 点 , 令 , 所以 . 【例2】已知为抛物线的焦点,过点作斜率为的直线交抛物线于两点,延长交抛物线于两点,直线的斜率为.若点,则_______. 【答案】 4 【解析】 设点 , .由 三点共线可得 所以 . 同理可得 . 于是 【例3】设点在椭圆上,点在直线上,则的最小值是_______. 【答案】 【解析】解法 1： 令,则.由直线 可知纵向距离最小, 设 与直线 平行的切线方程为 . 由 得 ,故 . 解法2：同解法1, 知纵向距离最小, 设与直线 平行的直线与䐈圆相切于点 ,易知切线方 程为 , 其斜率 ,所以. 代人椭圆方程得 , 即点 , 此时点 . 故 . 【例4】已知抛物线上一点到其焦点的距离为. (1)求与的值; （2）设抛物线上点的横坐标为,过点的直线交抛物线于另一点,交轴于点,过点作的垂线交抛物线于另一点,若是抛物线的切线,求的最小值. 【答案】 (1) . 【解析】（1）由抛物线方程得其准线方程;.根据抛物线定义,点到焦点 的距离等于它到准线的距离,即,解得.抛物线方程为 .将点代人抛物线的方程,解得. (2) 设点 , 所以 , 所以., 得.从而可得直线 的方程.由点差法可得. 所以 ,于是 .因为 , 即 ，所以 , 所以 . 【例5】已知圆,椭圆.若直线与椭圆交于两点,与圆相切于点,且为的中点,则这样的直线有（ ） A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 【答案】C 【解析】 当直线斜率不存 在且与圆相切时,点在轴上,故满足条件的直线 有2条;当直线 斜率存在时, 设点 , . 由 ,两式相咸, 整理得 则 , 则 , 得 . 由可得点在椭圆内部,则这样的点有2个,即直线斜率 存在时,也有2条. 综上所述,所求直线有4条. 【例6】如图,已知抛物线,过点作斜率为的直线交抛物线于两点,其中点在第一象限,过点作抛物线的切线与轴相交于点,直线交抛物线于另一点,线段交轴于点,记的面积分别为. (1)若,求; (2)求的最小值. 【答案】 (1) ; (2)