第2讲 函数的极值、最值和零点问题 讲义-2023届高考数学二轮复习导数常考问题

第2讲 函数的极值、最值和零点问题 典型例题 【例1】若函数在上的最大值为2,则__________ 【例2】设函数有两个极值点,且 (1)试求的取值范围; (2)求证:. 【例3】已知函数. (1)当时,求的最小值; (2)讨论函数的零点的个数. 【例4】已知函数为的导数. 证明:(1)在区间上存在唯一极大值点; (2)有且仅有2个零点. 【例5】已知函数. (1)讨论的单调性； （2）设,证明:当时,; (3)若函数的图象与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明: 【例6】已知函数. (1)若是的极值点,求的值; (2)若在上为增函数,求的取值范围； (3)当时,方程有实根,求的最大值. 【例7】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若存在两个极值点,证明:. 【例8】已知定义在正实数集上的函数,其中,设两条曲线有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用表示,并求的最大值; (2)求证:当时,. 【例9】已知函数，若有两个零点，且． (1)求的取值范围； (2)求证：随着的减小而增大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 函数的极值、最值和零点问题 典型例题 【例1】若函数在上的最大值为2,则__________ 【解析】,又因为且,故,所以为增函数,故,故. 【例2】设函数有两个极值点,且 (1)试求的取值范围; (2)求证:. 【解析】(1),由题意得方程的两根范围,,所以即所以,故,解得,综合得. (2)因为,所以, 则. 因为,且, 所以,,即. 【例3】已知函数. (1)当时,求的最小值; (2)讨论函数的零点的个数. 【解析】(1)当时,记,则, 所以当时,,当时,,即在上为减函数,在上为增函数, 所以当时,. (2)令得,记,则,所以当时,,当时,,即在上为减函数,在上为增函数,. (1)当时,无解,即无零点; (2)当时,有一解,即有且只有一个零点; (3)当时,,所以在上有一根. 又因为,所以在上有一根,所以有两个根,即有两个零点. 综合得,当时,无零点;当时,只有一个零点;当时,有两个零点. 【例4】已知函数为的导数. 证明:(1)在区间上存在唯一极大值点; (2)有且仅有2个零点. 【解析】(1)设,则. 当时,单调递减, 而, 所以在上有唯一零点,设为, 当时,;当时, 所以在上单调递增,在上单调递减,故在上存在唯一极大值点,即在区间上存在唯一极大值点. (2)的定义域为. (1)当时,由(1)知,在上单调递增, 而,所以当时,,故在上单调递减, 又,从而是在上的唯一零点. (2)当时,由(1)知,在上单调递增,在上单调递减, 而, 所以存在,使得,且当时,;当时,. 故在上单调递增,在上单调递减. 所以当时,. 从而在上没有零点. (3)当时,,所以在上单调递减.而, 所以在上有唯一零点. (4)当时,,所以,从而在上没有零点. 综上,有且仅有2个零点. 【例5】已知函数. (1)讨论的单调性； （2）设,证明:当时,; (3)若函数的图象与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明: 【解析】(1)的定义域为. (i)若,则,所以在上单调递增. (ii)若,则由得,且当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减. (2)设函数, 则. 当时,, 而,所以. 故当时,. (3)由(1)可得,当时,函数的图象与轴至多有一个交点,故, 从而的最大值为,且.不妨设,则. 由(2)得. 从而,于是, 由(1)知,. 【例6】已知函数. (1)若是的极值点,求的值; (2)若在上为增函数,求的取值范围； (3)当时,方程有实根,求的最大值. 【解析】, (1)因为是的极值点, 所以,所以, 经检验,当时,,满足题意,所以. (2)由定义域得在上恒成立,所以, (1)当时,在上恒成立,满足题意; (2)当时,令,则在上恒成立, 因为对称轴, 所以在上单调递增, 所以, 解得, 综上所述,; (3)当时,原方程化为,易证,当时等号成立, 所以,当时等号成立,所以,当时,的最大值为0. 【例7】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若存在两个极值点,证明:. 【解析】(1)的定义域为. (1)若,则,当且仅当时,所以在上单调递减. (2)若,令得,或. 当时,;当时, 所以在 上单调递减,在上单调递增. (2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则. 由于, 所以等价于. 设函数, 由(1)知,在上单调递减, 又,从而当时,.所以, 即,证毕. 【例8】已知定义在正实数集上的函数,其中,设两条曲线有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用表示,并求的最大值; (2)求证:当时,. 【解析】(1)设两曲线的公共点为, 由题意得 即 解得 所以, 记, 则, 所以当时