第3讲 不等式证明 讲义-2023届高考数学二轮复习导数常考问题

第3讲 不等式证明 典型例题 【例1】 证明：当时，，当且仅当时，等号成立． 【例2】 证明：当时，，当且仅当时，等号成立． 【例3】若存在两个极值点，求的取值范围，并证明： ． 【例 4】已知，求证：． 【例 5】当时，求证：． 【例6】已知，求证：． 【例7】当时，证明：． 【例8】设函数，证明： (1)当时，； (2)当时，． 【例9】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，，证明：． 【例10】已知函数，． (1)若直线与的反函数的图象相切，求实数的值； (2)设，讨论曲线与公共点的个数； (3)设，比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 不等式证明 典型例题 【例1】证明：当时，，当且仅当时，等号成立． 【解析】令, 则, 当时,,当时,, 所以,即,当且仅当时,等号成立. 【例2】证明：当时，，当且仅当时，等号成立． 【解析】令,则, 所以在上单调递增, 所以,即当时,,当且仅当时,等号成立. 【例3】若存在两个极值点，求的取值范围，并证明： ． 【解析】的定义域为. 因为存在两个极值点,所以0,即有两个不等正根, 所以,所以, 所以 待证不等式 ① 不妨设, 则①式, 令,以下同题20. 【例 4】已知，求证：． 【解析】令,下证, 则, 所以在上单调递减,所以,得证. 【例 5】当时，求证：． 【解析】令, 则. 令,则， 所以在上单调递增, 所以,即, 所以,所以在上单调递增,所以, 即当时,. 【例6】已知，求证：． 【解析】令, 则 所以当时,,所以,即. 令, 则 所以当时,,当时,, 又当时,, 所以当时,,即, 综上所述,命题得证. 【例7】当时，证明：． 【解析】因为, 所以.令, 则, 所以在上单调递减, 所以,得证. 【例8】设函数，证明： (1)当时，； (2)当时，． 【解析】(1)令, 当时,, 所以在上单调递减, 又,所以, 即. (2)方法一 由均值不等式得当时,, 令, 则 令, 则, 所以,所以, 所以在上单调递减. 又,所以, 即当时,. 方法二 由均值不等式得当时, 令, 则 , 所以在上单调递减. 又,所以, 即当时,. 方法三 令, 则 ,得证. 【例9】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，，证明：． 【解析】(1)的定义域为, . ①当时,若,则在上是增函数; 若,则在上是减函数; 若,则在上是增函数; ②当时,成立当且仅当在上是增函数; ③当时,若,则,在上是增函数; 若,则在上是减函数;若,则在上是增函数; (2)方法一 由(1)知,当时,在上是增函数, 当时,, 即. 又由(1)知,当时,在上是减函数, 当时,, 即. 下面用数学归纳法证明. ①当时,由已知,故结论成立; ②假设当时结论成立,即 当时, 即当时有,结论成立. 综合①②可知对结论都成立 方法二 (利用递推数学证明)由(1)知,当时,在上是增函数, 当时,, 即，又由(1)知,当时,在上是减函数, 当时,, 即. 要证明,即证, 因为, 所以, , 所以. 又因为, 所以, 所以; 故. 【例10】已知函数，． (1)若直线与的反函数的图象相切，求实数的值； (2)设，讨论曲线与公共点的个数； (3)设，比较与的大小，并说明理由． 【解析】(1)的反函数是. 设直线与曲线相切于点, 因为,则有 解得,故. (2)方法一 当时,讨论曲线与曲线的公共点个数,等价于讨论方程的根的个数. 由,得. 令,则, 易知在上单调递减,在上单调递增,所以.显然当时,, 又当时,, 可画出的大致图象,如图. 当时,函数与的图象没有公共点;当时,函数与的图象有1个公共点;当时,函数与的图象有2个公共点. 因此,讨论曲线与曲线公共点的个数,所得结果如下 当时,两曲线没有公共点;当时,两曲线有1个公共点;当时,两曲线有2个公共点. 方法二 在方程的两边取自然对数,得,则. 于是讨论曲线与曲线的公共点个数,等价于讨论直线与曲线的公共点个数. 由,易知在上单调递减,在上单调递增, 所以. 当时,;当时,. 综上可知,当,即时,直线与曲线没有公共点;当,即时,直线与曲线有1个公共点;当,即时,直线与曲线有2个公共点. 以下同方法一. (3)方法一 先证明不等式. 令, 则(仅当时等号成立), 则在上单调递增, 所以当时,. 令,得,即. 所以当时,. 方法二 当时,要证明,即证明. 设,则只要证明当时,, 即证明. 设,则只要证明当时,.设,则, 所以函数在上单调递增,故. 所以当时,. 方法三 设 . 设,则. 令, 则, 则在上单调递增,且. 因此,故在上单调递增,而,所以在上, 即当时,, 亦即当时,. 所以当时,. 学科网（北京）股份有限公司 $