第5讲 利用必要条件求参数问题 讲义-2023届高考数学二轮复习导数常考问题

第5讲 利用必要条件求参数问题 典型例题 【例1】 已知函数. (1)设,讨论的单调性; (2)若对于任意,恒有,求的取值范围. 【例2】已知函数. (1)讨论函数的极值; (2)若对任意恒成立,求实数的取值范围. 【例3】已知.若对于任意的,都有,求实数的取值范围． 【例4】已知函数. (1)若是的两个根,求证:; (2)若存在,使,求的取值范围. 【例5】已知函数. (1)若,求的值; (2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值. 【例6】已知函数,若,对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【例7】已知. (1)讨论的单调性； (2)当时,,求的取值范围. 【例8】已知函数. (1)若时,求证:当时,; (2)若不等式恒成立,求实数的取值范围. 【例9】已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围． 【例10】已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 利用必要条件求参数问题 典型例题 【例1】已知函数. (1)设,讨论的单调性; (2)若对于任意,恒有,求的取值范围. 【解析】(1)因为,所以, 当时,恒成立,在和上单调递增; 当时,,令,得,列表如下： 0 0 极大值 极小值 所以在上单调递增,在上单调递减. (2)由知,要使在上恒成立,必须,即, 否则,存在,当时,,则,矛盾. 当时,, 令,则0,所以在上单调递增, 所以, 综上所述. 【例2】已知函数. (1)讨论函数的极值; (2)若对任意恒成立,求实数的取值范围. 【解析】(1)的定义域为, 当时,在上递增,没有极值; 当时,令,得在上递增,在上递减,所以的极大值为1,没有极小值. 综上所述,当时,没有极值;当时,有极大值,没有极小值. (2)当时,. 令,则恒成立, 要使恒成立,必需,即, 否则,存在,当时,,则,矛盾. 当时,,所以在上递减,所以, 综上所述,. 【例3】已知.若对于任意的,都有,求实数的取值范围． 【解析】方法一 设, 则. 显然,当时,,所以单调递增(注意到). ①当即时,易知对任意, 所以在上单调递增,,符合题意; ②当即时,,令得,,解得当时,单调递减,此时,不合题意. 综上所述,实数的取值范围是. 方法二 设, 则. 显然,当时,单调递增(注意到， ①当即时,易知对任意, 所以在上单调递增,,符合题意; ②当即时,, 由零点存在定理得,, 当时,,所以单调递减,此时,不合题意. 综上所述,实数的取值范围是. 【例4】已知函数. (1)若是的两个根,求证:; (2)若存在,使,求的取值范围. 【解析】(1)因为是的两个根, 所以, 所以, 易证, 所以, 所以. (2), 则, 则. ①若,当时, ,不合题意; ②若, 故存在,使,当时, ,不合题意; 当时,令,得, 则时,,, 故存在,使, 所以存在,使, 综上所述,满足题意. 【例5】已知函数. (1)若,求的值; (2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值. 【解析】(1)方法一 函数的定义域为,因为恒成立,所以,所以,所以在上递减,在上递增.故当时,,令,则,所以在上递增,在上递减,所以,即, 因此. 方法二(利用) 函数的定义域为, 因为恒成立, 所以, 所以, 所以在上递减,在上递增.恒成立, 所以为函数的最小值,故. (2)因为对任意恒成立, 令得 当时,.因为为整数,所以. 下面证明的最小值为3. 由(1)有, 所以, 从而, 故成立， 所以的最小值为3. 【例6】已知函数,若,对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【解析】对任意,不等式恒成立,则必有,解得, 故是不等式成立的必要条件. 而当时,记, 则在上,, . 因为,所以, 所以当时,单调递减;当时,单调递增, 所以, 所以是不等式恒成立的充分条件, 综上所述,. 【例7】已知. (1)讨论的单调性； (2)当时,,求的取值范围. 【解析】(1), 令得, 所以, 所以的增区间为,减区间为和. (2)设,则, 依题意,对任意(注意到. 因为当时,, 所以在上单调递增, ①当时,恒成立,则在上单调递增 所以对任意,符合题意; ②当时,, 因为当时,, 所以 所以,且, 所以. 当时,单调递减,此时,不合题意. 综上所述,的取值范围是. 【例8】已知函数. (1)若时,求证:当时,; (2)若不等式恒成立,求实数的取值范围. 【解析】(1)方法一 若, 所以. 记,则,. 由得,所以为增函数,所以,所以为增函数,故,即, 故; 方法二 因为 , 而,所以. (2)方法一(换元法) 恒成立, 记,则恒成立, 所以恒成立, 即在上