第6讲 整体代换研究函数隐零点 讲义-2023届高考数学二轮复习导数常考问题

第6讲 整体代换研究函数隐零点 典型例题 【例1】 求证：． 【例2】 已知函数在上的极值点为，证明：． 【例3】 设函数，若恒成立，求正整数的最大值． 【例4】已知函数． （1）函数在上的最值； （2）设，若当，且时，，求整数的最小值． 【例5】已知函数有两个极值点，，满足，且． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 【例6】已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，， ①求的取值范围； ②证明：． 【例7】已知，函数，其中是自然对数的底数． （1）证明：函数在上有唯一零点； （2）记是函数在上的零点，求证： ①； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 整体代换研究函数隐零点 典型例题 【例1】求证：． 【解析】令,则, 显然,当时,;当时,, 所以,即. 【例2】已知函数在上的极值点为，证明：． 【解析】 令,则，所以在上递增,在上递减,又 因为是的极值点,所以,即,所以, 因为,所以,所以. 【例3】设函数，若恒成立，求正整数的最大值． 【解析】由题意得在内恒成立, 令, 则. 设,则0,所以在上单调递增. 又, 所以存在唯一实数使得, 即,且当时,,即单调递减,当时,,即单调递增, 所以, 因此,即的最大值为3 【例4】已知函数． （1）函数在上的最值； （2）设，若当，且时，，求整数的最小值． 【解析】(1). 当时,,当时,, (1)当时,在上递减,则,没有最小值; (2)当时,令,得,在上递减,在上递增, 则,没有最大值; (3)当时,在上递增,则,没有最大值. (2)方法一(利用隐零点) ,则, 因为, 当时,; 当时,, 令,则. 令,则在上递增. 又, 所以, 且当时,,当时,, 所以 , 所以整数的最小值为2. 方法二(利用是整数) ,则, 因为, 当时,; 当时,, 当,即时,. 又因为恒成立,故, 又 ,所以整数的最小值为2. 【例5】已知函数有两个极值点，，满足，且． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 【解析】(1),令,则有两个零点,,且. 由,得, 所以 解得. (2)由(1)得, 则, 所以 . 令, 则, 所以在上单调递减, , 所以. 【例6】已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，， ①求的取值范围； ②证明：． 【解析】(1). 当时,单调递增;当时,单调递减. 所以的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)(1)由题意可知,解得, (2)不妨设. 因为. 令,则, . 令, 则, 所以单调递增. 又因为,所以单调递增. 因为, 所以,故单调递增. 又因为, 所以, 由可知, 令,则, 所以,则. 【例7】已知，函数，其中是自然对数的底数． （1）证明：函数在上有唯一零点； （2）记是函数在上的零点，求证： ①； ②． 【解析】(1), 则, 故在上为增函数. 因为, 故在上有唯一零点. (2)(1), 记, 则, 因为,所以在上递减,在上递增,而,所以为减函数,故,即. 又因为,记, 则, 因为,故为增函数,所以,即,故. (2)因为,, 所以, 故 . 此处用到了不等式与. 学科网（北京）股份有限公司 $