第8讲 高观点下函数综合 讲义-2023届高考数学二轮复习导数常考问题

第12讲 高观点下函数综合 典型例题 【例1】设函数,若函数在和处取到极值,且(为自然对数的底数). (1)求实数的取值范围; (2)求证. 【例2】已知函数. (1)若在上的最大值和最小分别记为,求; (2)设,若对一切恒成立,求的取值范围. 【例3】已知,函数,其中是自然对数的底数,记为函数在上的零点,证明. 【例4】已知函数.如果函数有两个极值点,求证.(参考数据为自然对数的底数) 【例5】已知函数,且在定义域内为增函数,且的最小值小于等于0. (1)求实数的值; (2)设,且,求证. 【例6】设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)当时,证明; (3)设为函数在区间内的零点,其中,证明 【例7】设函数. (1)讨论的单调性; (2)设,求的取值范围. 【例8】已知函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)求证; (3)设,求证. 【例9】已知,求证 【例10】设,其中,函数在点处的切线方程为. (1)求证函数有且仅有一个零点; (2)当时,恒成立,求整数的最小值. 【例11】设函数,其中. (1)若是上的增函数,求的取值范围; (2)若,证明. 【例12】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时,都有. 【例13】若对一切恒成立,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例14】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求证当时,; (3)设实数使得对恒成立,求的最大值. 【例15】已知函数,曲线在点处的切线方程为. (1)求的值; (2)如果当,且时,,求的取值范围. 【例16】已知. (1)若函数存在极小值,求实数的取值范围; (2)若,且对任意恒成立,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 高观点下函数综合 典型例题 【例1】设函数,若函数在和处取到极值,且(为自然对数的底数). (1)求实数的取值范围; (2)求证. 【解析】(1)当时, 由题意的两根为,即2有两正根且, 由在时为减函数,在时为增函数, 所以. (2)由题意为方程的两根,则, 所以, 所以 . 设, 则, 故在区间上为增函数, 所以, 即. 【例2】已知函数. (1)若在上的最大值和最小分别记为,求; (2)设,若对一切恒成立,求的取值范围. 【解析】(1)因为所以 由于, (1)当时,有,故在上是增函数, 因此. (2)当时,若,则在上是增函数, 若,则在上是减函数, 所以 所以 (3)当时,有,故在上是减函数, 因此, 故. 综上, (2)利用动直线与定曲线考虑,采用半分离思想【解析】 原不等式可化为, 即, 可看作折线恒在曲线下方,且恒在曲线上方,也即夹在两条曲线之间(包含了相等的情况),画出两条曲线和折线的图象,能夹在两条曲线之间的折线,其顶点必然在图中阴影区域和射线上变动,可得0,所以,实质即求折线与轴交点的坐标的范围,由图易得,也即 【例3】已知,函数,其中是自然对数的底数,记为函数在上的零点,证明. 【解析】因为, 所以 得证. 【点睛】 此题用了三次放缩,第一个不等式放缩,是为,直接省略;第二个不等式放缩是利用;第三个则是利用了指数函数凹凸性而产生.的一个割线不等式是下凸函数,连结两点的直线与具有不等式关系或者. 如此可以将一道非常复杂困难的问题轻松解决,事实上不等式放缩法一般可以从以下几个方面考虑切(割)线放缩,以直代曲.常见的不等式如下,结合图象可以加深理解 (1); (3); (4); (5); (6). 【例4】已知函数.如果函数有两个极值点,求证.(参考数据为自然对数的底数) 【解析】, , 由 可得 所以, 即， 而由对数均值不等式及基本不等式可得, , 则, 所以函数在上为增函数, 而,所以, 所以,即. 【例5】已知函数,且在定义域内为增函数,且的最小值小于等于0. (1)求实数的值; (2)设,且,求证. 【解析】(1)由题意在上恒成立,则 0,所以. 因为,所以恒成立 又因为的最小值小于等于0,所以, 所以(1)式均取等号,故,从而,经检验符合题意. (2), 因为, 所以, 所以, 解得. 【例6】设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)当时,证明; (3)设为函数在区间内的零点,其中,证明 【解析】(1), 当时,有,则单调递减;当时,有,则单调递增. 所以的单调增区间为,单调减区间为. (2)记, 依题意及(1),有,从而 因此,在区间上单调递减,有. 所以当时,. (3)方法一依题意,,即 记,则,且. 由及(1),得. 由(2)知,当时,, 所以在上为减函数, 因此,. 又由(2)知,, 故, 所以. 方法二由定义可得. 由题意得,即,所以. 即且由定义得, 所以. 由(2)知,当时,. 即在时恒成立, 令得,, 化简得,所以