6.3.1&6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量、空间线面关系的判定-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

6.3.1&6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量、空间线面关系的判定 一、空间中直线的向量表示式 1、直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。 2、空间直线的向量表示式： 直线l的方向向量为a ，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 二、空间中平面的向量表示式 1、平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，我们称其为空间平面ABC的向量表示式。 2、平面的法向量 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量； 过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时要注意这个坐标不为0 三、空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 . 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数， 使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 四、空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量， 则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 题型一 求直线的方向向量 【例1】若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量：______． 【变式1-3】如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量． 【变式1-4】如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，，H是的中点，建立适当的空间直角坐标系，求线段，EF，，FH所在直线的一个方向向量． 题型二 求平面的法向量 【例2】已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知向量，，，若是平面ABC的法向量，则mk的值是（ ） A．3 B．2 C．6 D．4 【变式2-2】已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 题型三 坐标法证明空间线面平行 【例3】已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【变式3-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【变式3-2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 【变式3-3】如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 【变式3-4】如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面. 【变式3-5