上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试卷

上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上12月 月考数学试卷 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.设集合，则 . 2.若，则 . 3.已知数列中，则 . 4.函数的值域为________． 5.已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为________． 6.的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则正实数的值为_______． 7.已知函数在上的最大值与最小值分别为，则_______． 8.过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆 作切线，切点分别为，则的最小值为_______． ， 故的最小值为13. 9.设集合，集合，若中恰含有2个整数，则实数的取值范围是______． 10.已知中，，且的最小值为，则______． 11. 斐波那契数列()又称黄金分割数列，因为数学家列昂给多•斐波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是______． 12. 容器中有种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子，现有粒子10颗，粒子8颗，粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子. 给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是粒子； ②最后一颗粒子可能是粒子； ③最后一颗粒子可能是粒子； 其中正确结论的序号是______．(写出所有正确结论的序号) 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 已知是三个不同的平面，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气. 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳， 若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ） A.11分钟 B.14分钟 C.15分钟 D.20分钟 15. 已知条件甲: ，乙: 双曲线的渐近线与圆 相切， 则甲为乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 将方程的所有正数解从小到大组成数列，记 ，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）. 18. 已知函数满足. （1）求的值，并求出的解析式； （2）若函数，且在的最大值与最小值的差值小于4，求 实数的取值范围. 19. 2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级，路边一棵参天大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖着地处与树根距 1米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计) （1）若，求折断前树的高度；(结果保留一位小数) （2）问一辆宽2米，高米的救援车能否从此处通过？并说明理由. 20. 已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点 到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线 的斜率分别为，求的值； （3）设点为曲线的上顶点， 点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 21. 设为实数，若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③ （1）如果数列的前4项为，那么是否可能为数列? 说明理由； （2）若数列是数列，求； （3）设数列的前项和为，是否存在数列，使得恒成立？如果存 在，求出所有的；如果不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上12月 月考数学试卷 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题