2023年中考数学二轮专题复习 学案 ——专题 最值问题

专题三 最值问题 一、将军饮马模型与最值 类 型 一定两动 两定两动 一定两动 图 示 在OA,OB上分别取点M,N,使得△PMN周长最小. 在OA,OB上分别取点M,N,使得四边形PMNQ的周长最小. 在OA,OB上分别取点M,N,使得PM+MN的值最小. 说 明 M,N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线),OB(折点N所在直线)的对称点P',P'',化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP'',当P',M,N,P''四点共线时,△PMN的周长最小. PQ是条定线段,只需考虑PM+MN+NQ的值最小.分别作点P,Q关于OA,OB的对称点P',P'',化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',当P',M,N,Q'四点共线时,四边形PMNQ的周长最小. M为折点,作点P关于OA对称的点P',将折线段PM+MN转化为P'M+MN,即过点P'作OB的垂线分别交OA,OB于点M,N,得PM+MN的最小值.(点到直线的连线中,垂线段最短) 例1 如图1,△ABC是等边三角形,AB=6,N是AB的中点,AD是BC边上的中线,M是AD上的一个动点,连接BM,MN,则BM+MN的最小值是 . 解析:连接CM,CN,如图1所示. 因为△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,所以AC=AB,AD⊥BC,BD=CD.所以AD是BC的垂直平分线.所以BM=CM.所以BM+MN=CM+MN. 当C,M,N三点共线时,BM+MN有最小值,为CN的长. 因为N是AB的中点,所以CN⊥AB,AN=AB=3.所以CN=== .所以BM+MN的最小值为. 故填. 例2 如图2,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 . 解析:作点P关于BD的对称点P′,连接P′Q与BD的交点即为所求的点K,如图2所示. 根据直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短的性质,知当P′Q⊥CD时,P'Q的值最小,即PK+QK的值最小. 作AE⊥CD,此时AE=P′Q.因为四边形ABCD是菱形,AB=4,所以AD=AB=4,AB∥CD. 因为∠BAD=120°,所以∠ADE=60°.所以AE=AD•sin60°=4×=. 所以点P′到CD的距离为.所以PK+QK的最小值为.故填. 二、胡不归中的双线段模型与最值 图 示 ( A P B l F E P ' N A P B l ) 如图,A为直线l上一定点,B为直线l外一定点,P为直线l上一动点,求BP+kAP(0<k<1)的最小值. 说 明 在点B异侧,构造以线段AP为斜边的直角三角形,以定点A为顶点作∠NAP,使sin∠NAP=k;过动点P作垂线,构造Rt△APE.将kAP转化为PE,使得BP+kAP=BP+PE.利用“垂线段最短”转化为求BF的长. 在求形如“AP+kBP”式子的最值时,关键是构造与kPB相等的线段,将“AP+kBP”问题转化为“AP+CP”. 例3 如图3,在△ABC中,AB=5,AC=4,sinA=,BD⊥AC交AC于点D,P为线段BD上的动点,则PC+PB的最小值为 . 解析:过点P作PE⊥AB于点E,过点C作CH⊥AB于点H,如图3所示. 因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°.因为sin A==,AB=5,所以BD=4. 由勾股定理,得AD=3.所以sin∠ABD==.所以PE=PB.所以PC+PB=PC+PE. 当C,P,E三点共线时,PC+PB的值最小,此时PC+PB的最小值为CH的长. 因为S△ABC=AC·BD=AB·CH,所以4×4=5CH,解得CH=.所以PC+PB的最小值为.故填. 三、隐圆问题与最值 图 示 ① ② ③ 说 明 如图,在△ABC中,BC的长为定值,∠A的度数为定角度,探究点A的轨迹. ①当∠A<90°时,点A在优弧上运动(不与点A,B重合),如图①;②当∠A=90°时,点A在⊙O上运动(不与点A,B重合),如图②所示;③当∠A>90°时,点A在劣弧上运动(不与点A,B重合),如图③. 例4 如图4,已知正方形ABCD的边长为6,F是正方形内一点,连接CF,DF,且∠ADF=∠DCF,E是AD边上一动点,连接EB,EF,则EB+EF长度的最小值为_. 解析:因为四边形ABCD是正方形,所以∠ADC=90°.所以∠ADF+∠CDF=90°. 因为∠ADF=∠DCF,所以∠DCF+∠CDF=90°.所以∠DFC=90°. 所以点F在以CD为直径的半圆上移动. 设CD的中点为O,作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD,则点B的对应点是P,连接PO交AD于点E,交半圆O于点F,此时线段FP的长即为BE+FE长度的最小值. 在Rt△CDF中,因为O为CD的中点,CD=6,所以