2023年中考数学二轮专题复习学案 ——专题 遇中点作辅助线的方法

专题一 遇中点作辅助线的方法 一、边上的中点,考虑构造中位线 图 示 说 明 在△ABC中,给出边的中点,常考虑构造三角形的中位线,得到DE∥BC,且DE=BC,△ADE∽△ABC. 例1 如图1,在边长为的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长为 . 解析:连接CH并延长交AD于点P,连接PE,如图1所示. 因为四边形ABCD是正方形,所以∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=. 因为E,F分别是边AB,BC的中点,所以AE=CF=×=. 因为AD∥BC,所以∠DPH=∠FCH,∠PDH=∠CFH. 因为H是FD的中点,DH=FH.所以△PDH≌△CFH.所以PD=CF=,PH=CH. 所以AP=AD-PD=.所以PE==2. 因为G,H分别是EC,CP的中点,所以GH=PE=1.故填1. 2. 直角三角形斜边上的中点,考虑构造斜边上的中线 图 示 说 明 在Rt△ABC中,给出斜边上的中点,常考虑构造斜边上的中线,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即CD=AB”来求解线段之间的数量关系. 例2 如图2,CE,BF分别是△ABC的高线,连接EF,EF=6,BC=10,D,G分别是EF,BC的中点,则DG的长为 . 解析:连接EG,FG,如图2所示. 因为CE,BF分别是△ABC的高线,所以∠BEC=90°,∠BFC=90°. 因为G是BC的中点,BC=10,所以EG=FG=BC=5. 因为D是EF的中点,EF=6,所以ED=EF=3,GD⊥EF. 由勾股定理,得DG==4.故填4. 3. 倍长中线、类中线(与中点有关的线段),构造全等三角形 图 示 作 法 延长AD至点E,使DE=AD,连接BE 延长ED至点F,使DF=ED,连接CF 说 明 通过作辅助线,得到一对全等三角形(△EBD≌△ACD,△CFD≌△BED),从而将题中已知条件和所求解的结论转化到同一个三角形中,使问题得解 例3 问题探究:小红遇到这样一个问题:如图3-①,在△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中线,求AD的取值范围. 她的作法:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决. (1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是 ; (2)AD的取值范围是 . 方法运用:(3)如图3-②,AD是△ABC的中线,在AD上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BF=AC. (4)如图3-③,在矩形ABCD中,,在BD上取一点F,以BF为斜边作Rt△BEF,且,G是DF的中点,连接EG,CG,求证:EG=CG. ① ② ③ 图3 解析:(1)因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD. 又∠BDE=∠CDA,DE=DA,所以△BED≌△CAD(SAS). 故填SAS. (2)因为△BED≌△CAD,所以BE=AC=4. 在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,所以2<2AD<10.所以1<AD<5.故填1<AD<5. (3)延长AD至点H,使DH=AD,连接BH,如图4-①所示. 因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD. 又∠BDH=∠CDA,DH=DA,所以△BDH ≌△CDA.所以BH=AC,∠H=∠CAD. 因为AE=EF,所以∠EAF=∠AFE.又∠BFH=∠AFE,所以∠H=∠BFH.所以BF=BH.所以BF=AC. ① ② 图4 (4)延长CG至点N,使NG=CG,连接EN,CE,NF,如图4-②所示. 因为G是DF的中点,所以FG=DG. 又∠NGF=∠CGD,NG=CG,所以△NGF≌△CGD.所以NF=CD,∠CDG=∠NFG. 因为四边形ABCD是矩形,所以AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∠BCD=90°. 因为,,所以tan∠ADB=,tan∠EBF=.所以∠ADB=∠EBF. 因为AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC.所以∠EBF=∠DBC.所以∠EBC=2∠DBC. 因为∠EBF+∠EFB=90°,∠DBC+∠CDB=90°,所以∠EFB=∠CDB=∠NFG,∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠CDB= 180°.所以2∠DBC+∠EFB+∠NFG=180°. 又∠NFG+∠EFB +∠EFN=180°,所以∠EFN=2∠DBC.所以∠EFN=∠EBC. 因为,CD=NF,所以.所以△FEN∽△BEC. 所以∠FEN =∠BEC.所以∠NEC =∠BEF =90°. 又CG=NG,所以EG=NC.所以EG=GC. 4. 圆中弦或弧的中点 图 示 ① ② 作 法 连接半径,利用圆周角定理或垂径定理解题.如图①,C是的中点,连接OC,得到∠1=∠2=∠3,AC=BC,=;如图②